Решение задачи о браке ламп (Билет №11)

Ниже представлено решение задач из экзаменационного билета № 11 по дисциплине «Математика». Задача 1. Условие: Из 1000 ламп 500 принадлежат 1 партии, 300 — ко второй, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй — 3%, в третьей — 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная. Решение: Используем формулу полной вероятности. Пусть событие \(A\) — лампа бракованная. Гипотезы: \(H_1\) — лампа из 1-й партии; \(H_2\) — лампа из 2-й партии; \(H_3\) — лампа из 3-й партии. Количество ламп в 3-й партии: \(1000 - 500 - 300 = 200\). Вероятности гипотез: \[P(H_1) = \frac{500}{1000} = 0,5\] \[P(H_2) = \frac{300}{1000} = 0,3\] \[P(H_3) = \frac{200}{1000} = 0,2\] Условные вероятности брака: \[P(A|H_1) = 0,04\] \[P(A|H_2) = 0,03\] \[P(A|H_3) = 0,06\] По формуле полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)\] \[P(A) = 0,5 \cdot 0,04 + 0,3 \cdot 0,03 + 0,2 \cdot 0,06 = 0,02 + 0,009 + 0,012 = 0,041\] Ответ: 0,041. Задача 2. Условие: Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 5 выстрелов. Определить вероятность четырех попаданий в цель. Решение: Используем формулу Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\), где \(n=5\), \(k=4\), \(p=0,7\), \(q=1-0,7=0,3\). \[C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5\] \[P_5(4) = 5 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 = 5 \cdot 0,2401 \cdot 0,3 = 0,36015\] Ответ: 0,36015. Задача 3. Условие: Дан закон распределения дискретной случайной величины. Найти математическое ожидание и дисперсию. Таблица: X: -1; 0; 2; 3 P: 0,1; 0,5; 0,1; 0,3 Решение: 1) Математическое ожидание \(M(X)\): \[M(X) = \sum x_i p_i = (-1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3 = -0,1 + 0 + 0,2 + 0,9 = 1,0\] 2) Дисперсия \(D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\): Находим \(M(X^2)\): \[M(X^2) = (-1)^2 \cdot 0,1 + 0^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3 = 1 \cdot 0,1 + 0 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 = 0,1 + 0,4 + 2,7 = 3,2\] \[D(X) = 3,2 - (1,0)^2 = 3,2 - 1 = 2,2\] Ответ: \(M(X) = 1\); \(D(X) = 2,2\). Задача 4. Условие: Найти размах, моду, медиану и среднее выборки: 6; 6; 3; 2; 3; 8; 7; 4; 8. Решение: Упорядочим выборку по возрастанию: 2, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 8. Количество элементов \(n = 9\). 1) Размах \(R = X_{max} - X_{min} = 8 - 2 = 6\). 2) Мода (\(M_o\)) — значение, которое встречается чаще всего. В данной выборке три моды (мультимодальное распределение): 3, 6 и 8 (каждое встречается по 2 раза). 3) Медиана (\(M_e\)) — средний элемент в упорядоченном ряду. Так как \(n=9\) (нечетное), это 5-й элемент: \(M_e = 6\). 4) Среднее арифметическое (\(\bar{x}\)): \[\bar{x} = \frac{2+3+3+4+6+6+7+8+8}{9} = \frac{47}{9} \approx 5,22\] Ответ: Размах = 6; Мода = 3, 6, 8; Медиана = 6; Среднее \(\approx 5,22\).