Решение задачи: Вычисление произведения с функцией f(x) = x^2 + 3x + 2

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача №1 Дано: \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \). Вычислить: \( (1 - \frac{2}{f(1)}) \cdot (1 - \frac{2}{f(2)}) \cdot (1 - \frac{2}{f(3)}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{2}{f(2025)}) \). Решение: 1. Разложим функцию на множители: \[ f(x) = x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \] 2. Преобразуем общий член произведения: \[ 1 - \frac{2}{f(x)} = 1 - \frac{2}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x+1)(x+2) - 2}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + 3x + 2 - 2}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + 3x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x(x+3)}{(x+1)(x+2)} \] 3. Запишем произведение, подставляя значения \( x \) от 1 до 2025: \[ \left( \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \right) \cdot \left( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} \right) \cdot \left( \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} \right) \cdot \dots \cdot \left( \frac{2024 \cdot 2027}{2025 \cdot 2026} \right) \cdot \left( \frac{2025 \cdot 2028}{2026 \cdot 2027} \right) \] 4. Заметим, что почти все числа в числителях и знаменателях сокращаются. Останутся только первые множители из первых дробей и последние из последних: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{2028}{2026} = \frac{1 \cdot 676}{2026} = \frac{676}{2026} = \frac{338}{1013} \] Ответ: 338/1013 Задача №2 Дано: треугольник со сторонами \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \). Найти высоту \( h_c \), проведенную к большей стороне (\( c = 15 \)). Решение: 1. Найдем полупериметр \( p \): \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] 2. По формуле Герона найдем площадь \( S \): \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \] \[ S = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 4 = 84 \] 3. Высота через площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \Rightarrow 84 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_c \] \[ h_c = \frac{84 \cdot 2}{15} = \frac{168}{15} = 11,2 \] Ответ: 11,2 Задача №3 Пусть \( x \) — общее количество конфет. 1. В 1-й день съели: \( \frac{2}{7}x + 32 \). Остаток: \( x - (\frac{2}{7}x + 32) = \frac{5}{7}x - 32 \). 2. Во 2-й день съели: \( \frac{1}{6}x + 38 \). 3. В 3-й день съели: \( \frac{2}{5}x + 23 \). 4. Составим уравнение: \[ (\frac{2}{7}x + 32) + (\frac{1}{6}x + 38) + (\frac{2}{5}x + 23) = x \] \[ \frac{2}{7}x + \frac{1}{6}x + \frac{2}{5}x + 93 = x \] Приведем дроби к общему знаменателю 210: \[ \frac{60x + 35x + 84x}{210} + 93 = x \] \[ \frac{179}{210}x + 93 = x \] \[ x - \frac{179}{210}x = 93 \Rightarrow \frac{31}{210}x = 93 \] \[ x = \frac{93 \cdot 210}{31} = 3 \cdot 210 = 630 \] Ответ: 630 конфет. Задача №4 Найти \( x \) и \( y \) из соотношения: \( x^2 - 2025x = y^2 - 2025y \). Решение: 1. Перенесем всё в одну сторону: \[ x^2 - y^2 - 2025x + 2025y = 0 \] 2. Разложим на множители: \[ (x - y)(x + y) - 2025(x - y) = 0 \] \[ (x - y)(x + y - 2025) = 0 \] 3. Это уравнение распадается на два случая: Первый случай: \( x - y = 0 \Rightarrow x = y \). Второй случай: \( x + y - 2025 = 0 \Rightarrow x + y = 2025 \). Ответ: Решением являются все пары чисел, где \( x = y \), либо их сумма \( x + y = 2025 \).