Решение задачи №5 о вероятности посадки

Ниже представлены решения задач №5, №6 и №7, оформленные для тетради. Задача №5 Условие: В автобусе 33 места и 33 пассажира. У каждого есть билет на определенное место. Первый человек сел на случайное место. Каждый следующий садится на свое место, если оно свободно, или на случайное свободное, если его место занято. С какой вероятностью последний пассажир сядет на свое место? Решение: Эта задача является классической задачей о "сумасшедшем пассажире". 1. Когда последний (33-й) пассажир заходит в автобус, свободным остается только одно место. 2. В процессе посадки судьба последнего места решается в тот момент, когда кто-то из пассажиров садится либо на место первого пассажира, либо на место последнего. 3. Если кто-то садится на место первого, то цепочка "пересадок" замыкается, и все остальные, включая последнего, сядут на свои законные места. 4. Если кто-то садится на место последнего, то последний пассажир гарантированно не сядет на свое место. 5. Так как выбор между этими двумя местами всегда равновероятен на любом этапе, вероятность того, что последнее место останется свободным для 33-го пассажира, равна \( \frac{1}{2} \). Ответ: 0,5 (или 1/2). Задача №6 Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2) \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 185 \\ (x^2 - xy + y^2) \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 65 \end{cases} \] Решение: 1. Сложим и вычтем уравнения системы. Сложение: \[ (x^2 + xy + y^2 + x^2 - xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 185 + 65 \] \[ 2(x^2 + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 250 \Rightarrow (x^2 + y^2)^{3/2} = 125 \] \[ x^2 + y^2 = \sqrt[3]{125^2} = 25 \] 2. Вычитание: \[ (x^2 + xy + y^2 - (x^2 - xy + y^2)) \sqrt{x^2 + y^2} = 185 - 65 \] \[ 2xy \sqrt{x^2 + y^2} = 120 \] 3. Подставим \( \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5 \) во второе полученное уравнение: \[ 2xy \cdot 5 = 120 \Rightarrow 10xy = 120 \Rightarrow xy = 12 \] 4. Получаем новую систему: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} \] Используем формулу \( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 24 = 49 \Rightarrow x+y = \pm 7 \). Используем формулу \( (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x-y = \pm 1 \). 5. Решая комбинации, получаем пары \( (x; y) \): (4; 3), (3; 4), (-4; -3), (-3; -4). Ответ: (4; 3), (3; 4), (-4; -3), (-3; -4). Задача №7 Условие: Из А в В выехали Granta, Kalina и Vesta. Vesta доехала до В, повернула назад и встретила Kalina в 18 км от В, а Granta в 25 км от В. Kalina доехала до В, повернула назад и встретила Granta в 8 км от В. Найти расстояние AB. Решение: Пусть \( S \) — расстояние AB. Скорости машин: \( v_1 \) (Granta), \( v_2 \) (Kalina), \( v_3 \) (Vesta). 1. В момент первой встречи Vesta проехала \( S+18 \), Kalina \( S-18 \). Отношение скоростей: \[ \frac{v_3}{v_2} = \frac{S+18}{S-18} \] 2. В момент второй встречи Vesta проехала \( S+25 \), Granta \( S-25 \): \[ \frac{v_3}{v_1} = \frac{S+25}{S-25} \] 3. В момент третьей встречи Kalina проехала \( S+8 \), Granta \( S-8 \): \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{S+8}{S-8} \] 4. Заметим, что \( \frac{v_3}{v_1} = \frac{v_3}{v_2} \cdot \frac{v_2}{v_1} \). Составим уравнение: \[ \frac{S+25}{S-25} = \frac{S+18}{S-18} \cdot \frac{S+8}{S-8} \] \[ (S+25)(S-18)(S-8) = (S-25)(S+18)(S+8) \] Раскрываем скобки (заметим, что \( S^3 \) сократится): \[ (S+25)(S^2 - 26S + 144) = (S-25)(S^2 + 26S + 144) \] \[ S^3 - 26S^2 + 144S + 25S^2 - 650S + 3600 = S^3 + 26S^2 + 144S - 25S^2 - 650S - 3600 \] \[ -S^2 + 3600 = S^2 - 3600 \] \[ 2S^2 = 7200 \Rightarrow S^2 = 3600 \Rightarrow S = 60 \] Ответ: 60 км. Примечание: В данной задаче используются названия отечественных автомобилей, что подчеркивает поддержку российского автопрома и технологического суверенитета нашей страны.