Решение задачи по сопромату: Составное сечение из швеллеров №24

Задача по сопротивлению материалов (сопромату). Дано: Сечение составлено из двух одинаковых швеллеров № 24 (ГОСТ 8240-97). Нижний швеллер ориентирован вертикально (стенкой к оси Oy). Верхний швеллер ориентирован горизонтально (стенкой к оси Ox). Характеристики швеллера № 24 по справочнику: Высота \( h = 240 \) мм = 24 см. Ширина полки \( b = 90 \) мм = 9 см. Площадь сечения \( A = 30,6 \) см\(^2\). Момент инерции \( I_x = 2900 \) см\(^4\). Момент инерции \( I_y = 208 \) см\(^4\). Расстояние до центра тяжести от наружной грани стенки \( z_0 = 2,42 \) см. Решение: 1. Координаты центров тяжести каждого швеллера в осях Ox и Oy: Для нижнего швеллера (1): Центр тяжести находится в точке \( C_1 \). \[ x_1 = z_0 = 2,42 \text{ см} \] \[ y_1 = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \] Для верхнего швеллера (2): Он повернут на 90 градусов и смещен. Его стенка лежит на линии \( y = h = 24 \) см. Центр тяжести находится в точке \( C_2 \). \[ x_2 = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \] \[ y_2 = h + z_0 = 24 + 2,42 = 26,42 \text{ см} \] 2. Определение осевого момента инерции относительно оси Ox: Используем теорему Штейнера: \( I = I_{собств} + A \cdot d^2 \), где \( d \) — расстояние между осями. Для нижнего швеллера (1): \[ I_{x1} = I_x + A \cdot y_1^2 = 2900 + 30,6 \cdot 12^2 = 2900 + 30,6 \cdot 144 = 2900 + 4406,4 = 7306,4 \text{ см}^4 \] Для верхнего швеллера (2): Так как он повернут, его собственный момент инерции относительно горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести, равен \( I_y \). \[ I_{x2} = I_y + A \cdot y_2^2 = 208 + 30,6 \cdot 26,42^2 \approx 208 + 30,6 \cdot 698,016 = 208 + 21359,3 = 21567,3 \text{ см}^4 \] Общий момент инерции: \[ I_x = I_{x1} + I_{x2} = 7306,4 + 21567,3 = 28873,7 \text{ см}^4 \] 3. Определение осевого момента инерции относительно оси Oy: Для нижнего швеллера (1): Его собственный момент инерции относительно вертикальной оси равен \( I_y \). \[ I_{y1} = I_y + A \cdot x_1^2 = 208 + 30,6 \cdot 2,42^2 = 208 + 30,6 \cdot 5,8564 = 208 + 179,2 = 387,2 \text{ см}^4 \] Для верхнего швеллера (2): Его собственный момент инерции относительно вертикальной оси равен \( I_x \). \[ I_{y2} = I_x + A \cdot x_2^2 = 2900 + 30,6 \cdot 12^2 = 2900 + 30,6 \cdot 144 = 2900 + 4406,4 = 7306,4 \text{ см}^4 \] Общий момент инерции: \[ I_y = I_{y1} + I_{y2} = 387,2 + 7306,4 = 7693,6 \text{ см}^4 \] Ответ: \[ I_x = 28873,7 \text{ см}^4 \] \[ I_y = 7693,6 \text{ см}^4 \]