Решение Интеграла ∫√((x+1))/(x+2) dx с Заменой Переменной

Задание: Произвести замену переменной и вычислить интеграл \[ \int_{-1}^{0} \frac{\sqrt{x+1}}{x+2} dx \] Решение: 1. Введем замену переменной: Пусть \( t = \sqrt{x+1} \). Тогда \( t^2 = x + 1 \), откуда \( x = t^2 - 1 \). Найдем дифференциал: \( dx = 2t \, dt \). 2. Изменим пределы интегрирования: Если \( x = -1 \), то \( t = \sqrt{-1+1} = 0 \). Если \( x = 0 \), то \( t = \sqrt{0+1} = 1 \). 3. Подставим замену в интеграл: \[ \int_{0}^{1} \frac{t}{ (t^2 - 1) + 2 } \cdot 2t \, dt = \int_{0}^{1} \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt \] 4. Преобразуем подынтегральное выражение, выделив целую часть: \[ \frac{2t^2}{t^2 + 1} = \frac{2(t^2 + 1) - 2}{t^2 + 1} = 2 - \frac{2}{t^2 + 1} \] 5. Вычислим интеграл: \[ \int_{0}^{1} \left( 2 - \frac{2}{t^2 + 1} \right) dt = \left[ 2t - 2 \text{arctg}(t) \right] \bigg|_0^1 \] 6. Подставим значения пределов: \[ (2 \cdot 1 - 2 \text{arctg}(1)) - (2 \cdot 0 - 2 \text{arctg}(0)) \] Так как \( \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} \) и \( \text{arctg}(0) = 0 \), получаем: \[ 2 - 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2 - \frac{\pi}{2} \] Ответ: \( 2 - \frac{\pi}{2} \) (четвертый вариант в списке).