Контрольная работа №2 Вариант 4. Квадратные уравнения. Решение

Контрольная работа № 2. Вариант 4. Квадратные уравнения. Задание 1. Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней: а) \( 2x^2 - x = 0 \); б) \( x^2 + 16 = 0 \); в) \( x^2 - 7 = 0 \); г) \( x^2 + 3x = 0 \). Решение: Уравнение \( x^2 + 16 = 0 \) можно переписать как \( x^2 = -16 \). Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет корней. Ответ: б. Задание 2. Определите квадратное уравнение, сумма корней которого равна 3: а) \( x^2 + 5x - 3 = 0 \); б) \( x^2 - 5x + 3 = 0 \); в) \( x^2 - 3x - 5 = 0 \); г) \( x^2 + 3x + 5 = 0 \). Решение: По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -p \). Нам нужно, чтобы \( -p = 3 \), значит \( p = -3 \). Этому условию соответствует уравнение в). Ответ: в. Задание 3. Найдите дискриминант квадратного уравнения \( 7x^2 - 3x + 1 = 0 \) и определите число его корней. Решение: Коэффициенты: \( a = 7, b = -3, c = 1 \). Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 9 - 28 = -19 \] Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет корней. Ответ: \( D = -19 \), корней нет. Задание 4. Решите неполное квадратное уравнение \( 9x^2 + x = 0 \). Решение: Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(9x + 1) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x_1 = 0 \) 2) \( 9x + 1 = 0 \Rightarrow 9x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{9} \) Ответ: \( 0; -\frac{1}{9} \). Задание 5. Разложите на множители квадратный трехчлен \( x^2 - 6x + 5 \). Решение: Найдем корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) по теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 6 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 5 \] Корни: \( x_1 = 1, x_2 = 5 \). Разложение на множители имеет вид \( a(x - x_1)(x - x_2) \): \[ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \] Ответ: \( (x - 1)(x - 5) \). Задание 6. Решите уравнение \( (x - 9)(x + 9) = 19 \). Решение: Применим формулу разности квадратов: \[ x^2 - 81 = 19 \] \[ x^2 = 19 + 81 \] \[ x^2 = 100 \] \[ x_1 = 10, x_2 = -10 \] Ответ: \( \pm 10 \). Задание 7. Решите уравнение \( (2x + 1)(x - 7) = (3x - 1)^2 - 50 \). Решение: Раскроем скобки: \[ 2x^2 - 14x + x - 7 = 9x^2 - 6x + 1 - 50 \] \[ 2x^2 - 13x - 7 = 9x^2 - 6x - 49 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 9x^2 - 2x^2 - 6x + 13x - 49 + 7 = 0 \] \[ 7x^2 + 7x - 42 = 0 \] Разделим на 7: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1, x_1 \cdot x_2 = -6 \). Корни: \( x_1 = -3, x_2 = 2 \). Ответ: \( -3; 2 \). Задание 8. Пусть сторона квадрата равна \( a \) см. Тогда его площадь \( S_{кв} = a^2 \). Длина прямоугольника: \( a + 5 \), ширина: \( a + 3 \). Площадь прямоугольника: \( S_{пр} = (a + 5)(a + 3) \). По условию \( S_{пр} = 1,6 \cdot S_{кв} \): \[ (a + 5)(a + 3) = 1,6a^2 \] \[ a^2 + 3a + 5a + 15 = 1,6a^2 \] \[ 0,6a^2 - 8a - 15 = 0 \] Умножим на 5 для удобства: \[ 3a^2 - 40a - 75 = 0 \] \[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500 = 50^2 \] \[ a = \frac{40 \pm 50}{6} \] Так как сторона не может быть отрицательной, \( a = \frac{90}{6} = 15 \) см. Стороны прямоугольника: \( 15 + 5 = 20 \) см и \( 15 + 3 = 18 \) см. Периметр: \( P = 2 \cdot (20 + 18) = 2 \cdot 38 = 76 \) см. Ответ: 76 см. Задание 9. Решите уравнение \( (x^2 + 2x + 4)^2 - 14(x^2 + 2x + 4) - 15 = 0 \). Решение: Пусть \( t = x^2 + 2x + 4 \). Тогда: \[ t^2 - 14t - 15 = 0 \] По теореме Виета: \( t_1 = 15, t_2 = -1 \). 1) \( x^2 + 2x + 4 = 15 \Rightarrow x^2 + 2x - 11 = 0 \) \[ D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 48 \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3} \] 2) \( x^2 + 2x + 4 = -1 \Rightarrow x^2 + 2x + 5 = 0 \) \[ D = 4 - 4 \cdot 5 = -16 < 0 \) (корней нет) Ответ: \( -1 \pm 2\sqrt{3} \). Задание 10. \( x^2 - 6x + q = 0 \), \( 5x_1 - 2x_2 = 2 \). Решение: По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \). Составим систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ 5x_1 - 2x_2 = 2 \end{cases} \] Из первого: \( x_2 = 6 - x_1 \). Подставим во второе: \[ 5x_1 - 2(6 - x_1) = 2 \Rightarrow 5x_1 - 12 + 2x_1 = 2 \Rightarrow 7x_1 = 14 \Rightarrow x_1 = 2 \] Тогда \( x_2 = 6 - 2 = 4 \). Свободный член \( q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8 \). Ответ: \( x_1 = 2, x_2 = 4, q = 8 \).