Решение криволинейного интеграла ∫(1 + i + z) Re z dz

Решение задачи: Нам необходимо вычислить криволинейный интеграл от функции комплексного переменного: \[I = \int_{C} (1 + i + z) \text{Re } z \, dz\] по дуге параболы \(y = x^2\) от точки \(z_1 = 0\) (координаты \((0, 0)\)) до точки \(z_2 = 1 + i\) (координаты \((1, 1)\)). 1. Параметризация кривой: Пусть \(x = t\), тогда \(y = t^2\). Так как \(x\) меняется от \(0\) до \(1\), то параметр \(t \in [0, 1]\). Комплексное число на кривой: \(z = x + iy = t + it^2\). Дифференциал: \(dz = (1 + 2it) dt\). Действительная часть: \(\text{Re } z = x = t\). 2. Подставим всё в подынтегральное выражение: \[1 + i + z = 1 + i + t + it^2 = (1 + t) + i(1 + t^2)\] Интеграл принимает вид: \[I = \int_{0}^{1} ((1 + t) + i(1 + t^2)) \cdot t \cdot (1 + 2it) \, dt\] \[I = \int_{0}^{1} (t + t^2 + i(t + t^3)) (1 + 2it) \, dt\] 3. Раскроем скобки внутри интеграла: \[(t + t^2 + it + it^3)(1 + 2it) = t + t^2 + it + it^3 + 2it^2 + 2it^3 + 2i^2t^2 + 2i^2t^4\] Учитывая, что \(i^2 = -1\): \[= t + t^2 + it + it^3 + 2it^2 + 2it^3 - 2t^2 - 2t^4\] Сгруппируем действительную и мнимую части: \[= (t - t^2 - 2t^4) + i(t + 2t^2 + 3t^3)\] 4. Вычислим интеграл: \[I = \int_{0}^{1} (t - t^2 - 2t^4) \, dt + i \int_{0}^{1} (t + 2t^2 + 3t^3) \, dt\] Находим первообразные: \[\text{Re } I = \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{15 - 10 - 12}{30} = -\frac{7}{30}\] \[\text{Im } I = \left[ \frac{t^2}{2} + \frac{2t^3}{3} + \frac{3t^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{6 + 8 + 9}{12} = \frac{23}{12}\] 5. Итоговый результат: \[I = -\frac{7}{30} + \frac{23}{12}i\] Ответ: \(-\frac{7}{30} + \frac{23}{12}i\) (второй вариант в списке).