Решение определенного интеграла заменой переменной

Задание: Вычислить определенный интеграл, используя замену переменной. \[ I = \int_{-2 \ln 3}^{0} \frac{dx}{9e^{-\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}} + 6} \] Решение: 1. Преобразуем подынтегральное выражение. Умножим числитель и знаменатель на \( e^{\frac{x}{2}} \): \[ \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{9 + e^x + 6e^{\frac{x}{2}}} \] 2. Заметим, что в знаменателе находится полный квадрат: \( e^x + 6e^{\frac{x}{2}} + 9 = (e^{\frac{x}{2}} + 3)^2 \). Тогда интеграл примет вид: \[ I = \int_{-2 \ln 3}^{0} \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{(e^{\frac{x}{2}} + 3)^2} \] 3. Введем замену переменной: Пусть \( t = e^{\frac{x}{2}} + 3 \). Тогда производная \( dt = e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} dx \), откуда \( e^{\frac{x}{2}} dx = 2 dt \). 4. Найдем новые пределы интегрирования: Если \( x = -2 \ln 3 \), то \( t = e^{\frac{-2 \ln 3}{2}} + 3 = e^{-\ln 3} + 3 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3} \). Если \( x = 0 \), то \( t = e^0 + 3 = 1 + 3 = 4 \). 5. Подставим замену и новые пределы в интеграл: \[ I = \int_{10/3}^{4} \frac{2 dt}{t^2} = 2 \int_{10/3}^{4} t^{-2} dt \] 6. Вычислим первообразную: \[ I = 2 \left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_{10/3}^{4} = -2 \left[ \frac{1}{t} \right]_{10/3}^{4} \] 7. Подставим значения пределов по формуле Ньютона-Лейбница: \[ I = -2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{10/3} \right) = -2 \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{10} \right) \] 8. Приведем дроби к общему знаменателю 20: \[ I = -2 \left( \frac{5}{20} - \frac{6}{20} \right) = -2 \left( -\frac{1}{20} \right) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1 \] Ответ: 0,1