Решение несобственного интеграла ∫dx/(25x²-10x+2)

Задание: Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: \[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{25x^2 - 10x + 2} \] Решение: 1. Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат: \[ 25x^2 - 10x + 2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 + 1 = (5x - 1)^2 + 1 \] 2. Перепишем интеграл с учетом преобразования: \[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(5x - 1)^2 + 1} \] 3. Для вычисления воспользуемся определением несобственного интеграла и введем замену переменной. Пусть \( u = 5x - 1 \), тогда \( du = 5 dx \), откуда \( dx = \frac{du}{5} \). Изменим пределы интегрирования: Если \( x = 0 \), то \( u = 5(0) - 1 = -1 \). Если \( x \to \infty \), то \( u \to \infty \). 4. Подставим замену в интеграл: \[ I = \frac{1}{5} \int_{-1}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} \] 5. Вычислим первообразную (это табличный интеграл арктангенса): \[ I = \frac{1}{5} \left[ \text{arctg}(u) \right]_{-1}^{\infty} \] 6. Применим формулу Ньютона-Лейбница через предел: \[ I = \frac{1}{5} \left( \lim_{b \to \infty} \text{arctg}(b) - \text{arctg}(-1) \right) \] 7. Подставим значения: Знаем, что \( \lim_{b \to \infty} \text{arctg}(b) = \frac{\pi}{2} \), а \( \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} \). \[ I = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \] 8. Приведем к общему знаменателю в скобках: \[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] 9. Окончательный расчет: \[ I = \frac{1}{5} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{20} \] Ответ: \( \frac{3}{20}\pi \) (второй вариант в списке).