Определение характера особой точки z=0 функции f(z)=(e^z-1)/z

Решение задачи: Для того чтобы установить характер особой точки \(z = 0\) функции \(f(z) = \frac{e^z - 1}{z}\), необходимо исследовать предел функции в этой точке. 1. Найдем предел функции при \(z \to 0\): \[\lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{e^z - 1}{z}\] 2. Заметим, что при подстановке \(z = 0\) получается неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), так как \(e^0 - 1 = 1 - 1 = 0\). Воспользуемся разложением функции \(e^z\) в ряд Тейлора (Лорана) в окрестности точки \(0\): \[e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots\] 3. Подставим это разложение в нашу функцию: \[f(z) = \frac{(1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots) - 1}{z}\] \[f(z) = \frac{z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots}{z}\] \[f(z) = 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \dots\] 4. Теперь вычислим предел: \[\lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \left( 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \dots \right) = 1\] 5. Классификация точки: Так как предел функции в точке \(z = 0\) существует и является конечным числом (равен \(1\)), то, согласно определению, данная точка является устранимой особой точкой. В разложении Лорана отсутствуют члены с отрицательными степенями \(z\). Ответ: Устранимая особая точка (первый вариант в списке).