Нахождение коммутатора матриц A и B

Задача: Найти коммутатор матриц \(A\) и \(B\). В теории групп коммутатор элементов \(A\) и \(B\) обычно определяется как \([A, B] = ABA^{-1}B^{-1}\). Даны матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Эти матрицы являются матрицами перестановок. Запишем соответствующие им подстановки из группы \(S_4\). Матрица перестановки \(P_\sigma\) имеет единицы в позициях \((\sigma(i), i)\) или \((i, \sigma(i))\). Судя по виду матриц (единица в первой строке стоит во втором столбце и т.д.), сопоставим им подстановки: Для матрицы \(A\): 1 переходит в 4, 2 в 1, 3 в 2, 4 в 3. В циклической записи: \(\alpha = (1, 4, 3, 2)\). Для матрицы \(B\): 1 переходит в 1, 2 в 3, 3 в 2, 4 в 4. В циклической записи: \(\beta = (2, 3)\). Вычислим коммутатор подстановок \(\gamma = \alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}\). 1. Найдем обратные подстановки: \(\alpha^{-1} = (1, 2, 3, 4)\) \(\beta^{-1} = (2, 3)\) (так как это транспозиция) 2. Выполняем умножение подстановок (справа налево): \(\gamma = (1, 4, 3, 2) \circ (2, 3) \circ (1, 2, 3, 4) \circ (2, 3)\) Проследим за элементами: \(1 \xrightarrow{\beta^{-1}} 1 \xrightarrow{\alpha^{-1}} 2 \xrightarrow{\beta} 3 \xrightarrow{\alpha} 2\) \(2 \xrightarrow{\beta^{-1}} 3 \xrightarrow{\alpha^{-1}} 4 \xrightarrow{\beta} 4 \xrightarrow{\alpha} 3\) \(3 \xrightarrow{\beta^{-1}} 2 \xrightarrow{\alpha^{-1}} 3 \xrightarrow{\beta} 2 \xrightarrow{\alpha} 1\) \(4 \xrightarrow{\beta^{-1}} 4 \xrightarrow{\alpha^{-1}} 1 \xrightarrow{\beta} 1 \xrightarrow{\alpha} 4\) Получаем подстановку \(\gamma = (1, 2, 3)(4) = (1, 2, 3)\). Теперь запишем матрицу \(C\), соответствующую подстановке \((1, 2, 3)\). Это значит: 1-й столбец имеет единицу во 2-й строке. 2-й столбец имеет единицу в 3-й строке. 3-й столбец имеет единицу в 1-й строке. 4-й столбец имеет единицу в 4-й строке. Итоговая матрица коммутатора: \[ [A, B] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Ответ: \([A, B] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).