Вычисление вычета функции f(z) = e^z / ((z+1)(z+2)) в точке z = -1

Решение задачи: Нам необходимо найти вычет функции \(f(z) = \frac{e^z}{(z+1)(z+2)}\) в точке \(z = -1\). 1. Определим характер особой точки: Точка \(z = -1\) является простым полюсом (полюсом первого порядка) для данной функции, так как знаменатель обращается в нуль в этой точке в первой степени, а числитель \(e^{-1} \neq 0\). 2. Формула для вычисления вычета в простом полюсе: Для функции вида \(f(z) = \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\), где \(z_0\) — простой полюс, вычет можно найти по формуле: \[\text{res } f(z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)\] 3. Подставим наши значения: \[\text{res } f(-1) = \lim_{z \to -1} (z - (-1)) \frac{e^z}{(z+1)(z+2)}\] \[\text{res } f(-1) = \lim_{z \to -1} (z + 1) \frac{e^z}{(z+1)(z+2)}\] 4. Сократим дробь на \((z + 1)\): \[\text{res } f(-1) = \lim_{z \to -1} \frac{e^z}{z+2}\] 5. Вычислим предел, подставив \(z = -1\): \[\text{res } f(-1) = \frac{e^{-1}}{-1 + 2} = \frac{e^{-1}}{1} = e^{-1}\] Заметим, что \(e^{-1} = \frac{1}{e}\). Однако, среди предложенных вариантов ответа в тесте (0, \(e\), \(-e\), \(e^2\)) нет точного совпадения с \(e^{-1}\). Вероятно, в условии или вариантах ответа допущена опечатка. Если выбирать наиболее близкий по смыслу вариант из предложенных (например, если бы в числителе было \(e \cdot e^z\) или в знаменателе иные знаки), то стоит перепроверить условие. Но математически верный результат для данной функции: \[\text{res } f(-1) = e^{-1}\] Если же предположить, что в функции в числителе стоит \(e \cdot e^z\) или \(e^{z+2}\), тогда ответом было бы \(e\). При текущем условии правильный ответ \(e^{-1}\).