Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями x+y-2=0 и x^2-2x+y=0

Задача: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \(x + y - 2 = 0\) и \(x^2 - 2x + y = 0\). Решение: 1. Выразим \(y\) из уравнений заданных линий: Из первого уравнения: \(y_1 = 2 - x\) (это прямая). Из второго уравнения: \(y_2 = 2x - x^2\) (это парабола, ветви которой направлены вниз). 2. Найдем точки пересечения этих линий, приравняв \(y_1\) и \(y_2\): \[2 - x = 2x - x^2\] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[x^2 - 3x + 2 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: \[x_1 = 1, \quad x_2 = 2\] Это пределы интегрирования. 3. Определим, какая функция находится выше на интервале \((1; 2)\). Подставим пробную точку, например \(x = 1,5\): \(y_1(1,5) = 2 - 1,5 = 0,5\) \(y_2(1,5) = 2(1,5) - (1,5)^2 = 3 - 2,25 = 0,75\) Так как \(0,75 > 0,5\), то парабола \(y_2\) лежит выше прямой \(y_1\). 4. Вычислим площадь \(S\) как интеграл разности функций: \[S = \int_{1}^{2} (y_2 - y_1) dx = \int_{1}^{2} (2x - x^2 - (2 - x)) dx\] Упростим подынтегральное выражение: \[S = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) dx\] 5. Вычислим определенный интеграл: \[S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2}\] Подставим верхний предел (\(x = 2\)): \[\left( -\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 \cdot 2 \right) = -\frac{8}{3} + 6 - 4 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}\] Подставим нижний предел (\(x = 1\)): \[\left( -\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 1}{2} - 2 \cdot 1 \right) = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{-2 + 9 - 12}{6} = -\frac{5}{6}\] Найдем разность: \[S = -\frac{2}{3} - \left( -\frac{5}{6} \right) = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\] Ответ: \(\frac{1}{6}\) (второй вариант в списке).