Решение: Изображение функции f(t) = (t+2)^2 (Преобразование Лапласа)

Решение задачи: Для нахождения изображения функции \(f(t) = (t + 2)^2\) при \(t \ge 0\) воспользуемся методом операционного исчисления (преобразованием Лапласа). 1. Раскроем квадрат суммы в выражении функции: \[f(t) = (t + 2)^2 = t^2 + 4t + 4\] 2. Используем свойство линейности преобразования Лапласа: \[L\{f(t)\} = L\{t^2\} + 4L\{t\} + 4L\{1\}\] 3. Применим табличные формулы для нахождения изображений элементарных функций: - Для \(t^n\) изображение равно \(\frac{n!}{p^{n+1}}\). - Для \(t^2\): \(L\{t^2\} = \frac{2!}{p^{2+1}} = \frac{2}{p^3}\) - Для \(t\): \(L\{t\} = \frac{1!}{p^{1+1}} = \frac{1}{p^2}\) - Для константы \(1\): \(L\{1\} = \frac{1}{p}\) 4. Подставим полученные значения в наше выражение: \[F(p) = \frac{2}{p^3} + 4 \cdot \frac{1}{p^2} + 4 \cdot \frac{1}{p}\] \[F(p) = \frac{2}{p^3} + \frac{4}{p^2} + \frac{4}{p}\] 5. Сравним полученный результат с вариантами ответа. Мы видим полное совпадение с четвертым вариантом. Ответ: \(\frac{2}{p^3} + \frac{4}{p^2} + \frac{4}{p}\) (четвертый вариант в списке).