Решение задачи: Найти оригинал f(t) по Лапласу

Решение задачи: Нам необходимо найти оригинал \(f(t)\) по его изображению \(F(p) = \frac{e^{-3p}}{p(p+4)}\). 1. Разложим дробную часть изображения (без учета экспоненты) на элементарные дроби: \[\frac{1}{p(p+4)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+4}\] Методом неопределенных коэффициентов: \[1 = A(p+4) + Bp\] При \(p = 0\): \(1 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{4}\). При \(p = -4\): \(1 = -4B \Rightarrow B = -\frac{1}{4}\). Таким образом: \[\frac{1}{p(p+4)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{p} - \frac{1}{p+4} \right)\] 2. Найдем оригинал для полученного выражения, используя таблицу преобразований Лапласа: \[L^{-1} \left\{ \frac{1}{p} \right\} = 1\] \[L^{-1} \left\{ \frac{1}{p+4} \right\} = e^{-4t}\] Следовательно, оригинал для \(\frac{1}{p(p+4)}\) равен: \[\varphi(t) = \frac{1}{4}(1 - e^{-4t}) \eta(t)\] где \(\eta(t)\) — единичная функция Хевисайда. 3. Применим теорему запаздывания: Если \(L^{-1}\{F(p)\} = \varphi(t)\), то \(L^{-1}\{e^{-ap} F(p)\} = \varphi(t-a) \eta(t-a)\). В нашем случае \(a = 3\). Подставим \((t-3)\) вместо \(t\) в функцию \(\varphi(t)\): \[f(t) = \frac{1}{4}(1 - e^{-4(t-3)}) \eta(t-3)\] 4. Сравним с вариантами ответа: Полученный результат полностью совпадает с четвертым вариантом. Ответ: \(f(t) = \frac{1}{4}(1 - e^{-4(t-3)}) \eta(t-3)\) (четвертый вариант в списке).