Решение задачи: производная скалярного поля в заданной точке

Решение задачи: Нам необходимо найти производную скалярного поля \(u = x^2y^2 - xy^3 - 3y - 1\) в точке \(P_0(2; 1)\) в направлении к началу координат \(O(0; 0)\). 1. Найдем частные производные функции \(u\) в произвольной точке: \[\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^2 - y^3\] \[\frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2y - 3xy^2 - 3\] 2. Вычислим значения частных производных в точке \(P_0(2; 1)\): \[\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{P_0} = 2 \cdot 2 \cdot 1^2 - 1^3 = 4 - 1 = 3\] \[\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{P_0} = 2 \cdot 2^2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1^2 - 3 = 8 - 6 - 3 = -1\] Таким образом, градиент функции в точке \(P_0\): \(\text{grad } u(P_0) = (3; -1)\). 3. Найдем вектор направления \(\vec{l}\) от точки \(P_0(2; 1)\) к точке \(O(0; 0)\): \[\vec{l} = \vec{P_0O} = (0 - 2; 0 - 1) = (-2; -1)\] 4. Найдем длину вектора \(\vec{l}\): \[|\vec{l}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\] 5. Найдем направляющие косинусы (координаты единичного вектора направления \(\vec{l^0}\)): \[\cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \beta = \frac{-1}{\sqrt{5}}\] 6. Вычислим производную по направлению по формуле: \[\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta\] \[\frac{\partial u}{\partial l} = 3 \cdot \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + (-1) \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\] \[\frac{\partial u}{\partial l} = -\frac{6}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{5}{\sqrt{5}}\] 7. Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[-\frac{5}{\sqrt{5}} = -\frac{5\sqrt{5}}{5} = -\sqrt{5}\] Ответ: \(-\sqrt{5}\) (первый вариант в списке).