Решение задачи: Производная по направлению

Дано: \[ u = x^2 y^2 - x y^3 - 3y - 1 \] Точка \( P_0(2; 1) \). Направление: от точки \( P_0 \) к началу координат \( O(0; 0) \). Решение: 1. Найдем частные производные функции \( u \) в произвольной точке: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x y^2 - y^3 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2 y - 3x y^2 - 3 \] 2. Вычислим значения частных производных в точке \( P_0(2; 1) \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{P_0} = 2 \cdot 2 \cdot 1^2 - 1^3 = 4 - 1 = 3 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} \Big|_{P_0} = 2 \cdot 2^2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1^2 - 3 = 8 - 6 - 3 = -1 \] Таким образом, градиент функции в точке \( P_0 \): \[ \text{grad } u(P_0) = (3; -1) \] 3. Найдем вектор направления \( \vec{l} \). По условию он направлен от \( P_0(2; 1) \) к \( O(0; 0) \): \[ \vec{l} = \vec{P_0 O} = (0 - 2; 0 - 1) = (-2; -1) \] 4. Найдем длину вектора \( \vec{l} \): \[ |\vec{l}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 5. Найдем направляющие косинусы (компоненты единичного вектора \( \vec{e} \)): \[ \cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \beta = \frac{-1}{\sqrt{5}} \] 6. Вычислим производную по направлению по формуле: \[ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta \] \[ \frac{\partial u}{\partial l} = 3 \cdot \left( \frac{-2}{\sqrt{5}} \right) + (-1) \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{5}} \right) \] \[ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{-6}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{-5}{\sqrt{5}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{-5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5} \] Ответ: \( -\sqrt{5} \)