Решение задачи: Момент силы и ускорение груза

Решение задачи: Дано: Момент пары сил \(M = 15\) Нм Радиус блока \(R = 39\) см \(= 0,39\) м Масса груза \(m_1 = 10\) кг Масса блока \(m_2 = 5\) кг Ускорение свободного падения \(g = 9,8\) м/с\(^2\) Время \(t = 8\) сек Начальная скорость \(v_0 = 0\) 1. Для нахождения скорости груза \(v\) необходимо сначала найти его ускорение \(a\). Воспользуемся основным уравнением динамики для системы (через общее уравнение моментов или закон сохранения энергии в дифференциальной форме). 2. Момент инерции однородного блока (диска) относительно оси вращения: \[J = \frac{1}{2} m_2 R^2\] 3. Составим уравнение движения системы. На систему действуют: вращающий момент \(M\) и момент от силы тяжести груза \(m_1 g R\). Суммарный момент сил равен произведению приведенного момента инерции на угловое ускорение \(\varepsilon\): \[M + m_1 g R = (J + m_1 R^2) \cdot \varepsilon\] Так как \(a = \varepsilon \cdot R\), заменим \(\varepsilon = \frac{a}{R}\): \[M + m_1 g R = (\frac{1}{2} m_2 R^2 + m_1 R^2) \cdot \frac{a}{R}\] \[M + m_1 g R = (\frac{1}{2} m_2 + m_1) \cdot R \cdot a\] 4. Выразим ускорение \(a\): \[a = \frac{M + m_1 g R}{(\frac{1}{2} m_2 + m_1) R}\] \[a = \frac{15 + 10 \cdot 9,8 \cdot 0,39}{(0,5 \cdot 5 + 10) \cdot 0,39}\] \[a = \frac{15 + 38,22}{12,5 \cdot 0,39} = \frac{53,22}{4,875} \approx 10,9169 \text{ м/с}^2\] 5. Скорость груза в момент времени \(t\) при движении из состояния покоя: \[v = a \cdot t\] \[v = 10,9169 \cdot 8 = 87,3352 \text{ м/с}\] 6. Округляем до 0,1 по условию задачи: \[v \approx 87,3 \text{ м/с}\] Ответ: 87,3