Решение:

Дано: \[ u = x^2 + y^2 \] Точка \( P_0(3; 2) \). Найти: \( \text{grad } u(P_0) \). Решение: 1. Градиент скалярного поля \( u(x, y) \) — это вектор, компонентами которого являются частные производные функции по соответствующим переменным: \[ \text{grad } u = \left\{ \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y} \right\} \] 2. Найдем частную производную по \( x \), считая \( y \) константой: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = (x^2 + y^2)'_x = 2x \] 3. Найдем частную производную по \( y \), считая \( x \) константой: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = (x^2 + y^2)'_y = 2y \] 4. Вычислим значения полученных производных в заданной точке \( P_0(3; 2) \), подставив \( x = 3 \) и \( y = 2 \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{P_0} = 2 \cdot 3 = 6 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} \Big|_{P_0} = 2 \cdot 2 = 4 \] 5. Запишем вектор градиента: \[ \text{grad } u(P_0) = \{6; 4\} \] Ответ: \( \{6; 4\} \)