Решение задачи: Дивергенция векторного поля в точке P(0;0;0)

Дано: \[ \vec{a} = y^2 \vec{i} - (x^2 + y^2) \vec{j} + z(3y^2 + x) \vec{k} \] Точка \( P(0; 0; 0) \). Найти: дивергенцию \( \text{div } \vec{a}(P) \) и определить характер точки. Решение: 1. Выпишем компоненты векторного поля \( \vec{a} = \{P; Q; R\} \): \[ P = y^2 \] \[ Q = -(x^2 + y^2) = -x^2 - y^2 \] \[ R = z(3y^2 + x) = 3y^2 z + xz \] 2. Дивергенция векторного поля вычисляется по формуле: \[ \text{div } \vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \] 3. Найдем частные производные: \[ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0 \] \[ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2 - y^2) = -2y \] \[ \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3y^2 z + xz) = 3y^2 + x \] 4. Составим выражение для дивергенции: \[ \text{div } \vec{a} = 0 - 2y + 3y^2 + x = x - 2y + 3y^2 \] 5. Вычислим значение дивергенции в точке \( P(0; 0; 0) \): \[ \text{div } \vec{a}(P) = 0 - 2(0) + 3(0)^2 = 0 \] 6. Интерпретация результата: Если \( \text{div } \vec{a} = 0 \), то в данной точке поле не имеет ни стока, ни источника (такое поле в этой точке называется соленоидальным). Ответ: \( \text{div } \vec{a}(P) = 0 \), поле в точке \( P \) не имеет ни стока, ни источника.