Решение:

Задача №10. Найти дивергенцию векторного поля \(\vec{a} = y^2 \vec{i} - (x^2 + y^2) \vec{j} + z(3y^2 + x) \vec{k}\) в точке \(P(0, 0, 0)\). Решение: 1) Выпишем компоненты векторного поля: \[P = y^2\] \[Q = -(x^2 + y^2) = -x^2 - y^2\] \[R = z(3y^2 + x) = 3y^2z + xz\] 2) Дивергенция векторного поля \(\vec{a}\) вычисляется по формуле: \[\text{div} \vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\] 3) Найдем частные производные: \[\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0\] \[\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2 - y^2) = -2y\] \[\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3y^2z + xz) = 3y^2 + x\] 4) Составим выражение для дивергенции: \[\text{div} \vec{a} = 0 + (-2y) + (3y^2 + x) = 3y^2 - 2y + x\] 5) Вычислим значение дивергенции в точке \(P(0, 0, 0)\), подставив \(x=0, y=0, z=0\): \[\text{div} \vec{a}(P) = 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 0 = 0\] Ответ: \(\text{div} \vec{a}(P) = 0\).