Контрольная работа по теме «Показательная функция». Вариант 2. Решение

Контрольная работа по теме «Показательная функция» Вариант 2. 1. Решите уравнения: 1) \( 11^{4x-3} = 121 \) \[ 11^{4x-3} = 11^2 \] \[ 4x - 3 = 2 \] \[ 4x = 5 \] \[ x = 1,25 \] Ответ: 1,25. 2) \( 3^{x^2-4x-21} = 1 \) \[ 3^{x^2-4x-21} = 3^0 \] \[ x^2 - 4x - 21 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -21 \] \[ x_1 = 7; x_2 = -3 \] Ответ: -3; 7. 3) \( 2^{x+1} + 5 \cdot 2^{x-1} = 144 \) Вынесем \( 2^{x-1} \) за скобки: \[ 2^{x-1} \cdot (2^2 + 5) = 144 \] \[ 2^{x-1} \cdot (4 + 5) = 144 \] \[ 2^{x-1} \cdot 9 = 144 \] \[ 2^{x-1} = 16 \] \[ 2^{x-1} = 2^4 \] \[ x - 1 = 4 \] \[ x = 5 \] Ответ: 5. 4) \( 2 \cdot 9^x - 3 \cdot 3^x - 9 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 9^x = t^2 \). \[ 2t^2 - 3t - 9 = 0 \] \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 \] \[ t_1 = \frac{3 + 9}{4} = 3 \] \[ t_2 = \frac{3 - 9}{4} = -1,5 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)) Вернемся к замене: \[ 3^x = 3 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1. 2. Решите неравенства: 1) \( 7^x < \frac{1}{49} \) \[ 7^x < 7^{-2} \] Так как основание \( 7 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ x < -2 \] Ответ: \( (-\infty; -2) \). 2) \( (0,1)^{2x} \ge 0,01 \) \[ (0,1)^{2x} \ge (0,1)^2 \] Так как основание \( 0,1 < 1 \), знак неравенства меняется: \[ 2x \le 2 \] \[ x \le 1 \] Ответ: \( (-\infty; 1] \). 3) \( 4^{x+1} - 4^{x-1} > 120 \) \[ 4^{x-1} \cdot (4^2 - 1) > 120 \] \[ 4^{x-1} \cdot 15 > 120 \] \[ 4^{x-1} > 8 \] \[ (2^2)^{x-1} > 2^3 \] \[ 2^{2x-2} > 2^3 \] \[ 2x - 2 > 3 \] \[ 2x > 5 \] \[ x > 2,5 \] Ответ: \( (2,5; +\infty) \). 4) \( 7^{2x+1} - 8 \cdot 7^x + 1 \le 0 \) \[ 7 \cdot (7^x)^2 - 8 \cdot 7^x + 1 \le 0 \] Пусть \( 7^x = t \), \( t > 0 \). \[ 7t^2 - 8t + 1 \le 0 \] Корни уравнения \( 7t^2 - 8t + 1 = 0 \): \( t_1 = 1, t_2 = \frac{1}{7} \). Решение неравенства относительно \( t \): \( \frac{1}{7} \le t \le 1 \). Обратная замена: \[ \frac{1}{7} \le 7^x \le 1 \] \[ 7^{-1} \le 7^x \le 7^0 \] \[ -1 \le x \le 0 \] Ответ: \( [-1; 0] \). 3. Решите систему: \[ \begin{cases} x + y = -2 \\ 6^{x+5y} = 36 \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ 6^{x+5y} = 6^2 \Rightarrow x + 5y = 2 \] Система принимает вид: \[ \begin{cases} x + y = -2 \\ x + 5y = 2 \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое: \[ (x + 5y) - (x + y) = 2 - (-2) \] \[ 4y = 4 \Rightarrow y = 1 \] Подставим \( y = 1 \) в первое уравнение: \[ x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3 \] Ответ: (-3; 1). Дополнительно: 1) Решить уравнение: \( 3^{x+2} + 8 \cdot 5^{x-1} = 5^{x+1} + 10 \cdot 3^{x-1} \) Группируем степени с одинаковыми основаниями: \[ 3^{x+2} - 10 \cdot 3^{x-1} = 5^{x+1} - 8 \cdot 5^{x-1} \] \[ 3^{x-1} \cdot (3^3 - 10) = 5^{x-1} \cdot (5^2 - 8) \] \[ 3^{x-1} \cdot (27 - 10) = 5^{x-1} \cdot (25 - 8) \] \[ 3^{x-1} \cdot 17 = 5^{x-1} \cdot 17 \] \[ 3^{x-1} = 5^{x-1} \] Разделим на \( 5^{x-1} \neq 0 \): \[ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = 1 \] \[ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^0 \] \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Ответ: 1.