Решение задач на тему: Испытания Бернулли

Ниже представлено решение задач из рабочего листа по теме Испытания Бернулли. Вероятность событий в серии испытаний Бернулли. Задача 1. Выбери правильный ответ: В серии из 5 испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0.4. Какова вероятность ровно 3 успехов? Решение: Используем формулу Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] Где \( n = 5 \), \( k = 3 \), \( p = 0.4 \), \( q = 1 - p = 0.6 \). \[ C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \] \[ P_5(3) = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304 \] Ответ: 0.2304 (первый вариант). Задача 2. Найди и исправь ошибку. Ученик решает задачу: Монету подбрасывают 4 раза. Какова вероятность, что герб выпадет ровно 2 раза? Решение ученика: \( P = 0.5^2 \cdot 0.5^2 = 0.0625 \) Ошибка: Ученик не учел количество способов, которыми могут распределиться 2 успеха в 4 испытаниях, то есть не умножил на число сочетаний \( C_n^k \). Исправленное решение: \[ n = 4, k = 2, p = 0.5, q = 0.5 \] \[ C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 \] \[ P_4(2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375 \] Ответ: 0.375. Задача 3. Заполни таблицу вероятностей для серии из 3 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0.3. Решение: \( n = 3, p = 0.3, q = 0.7 \) 1) \( P(0) = C_3^0 \cdot p^0 \cdot q^3 = 1 \cdot 1 \cdot (0.7)^3 = 0.343 \) 2) \( P(1) = C_3^1 \cdot p^1 \cdot q^2 = 3 \cdot 0.3 \cdot (0.7)^2 = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.49 = 0.441 \) 3) \( P(2) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot (0.3)^2 \cdot 0.7 = 3 \cdot 0.09 \cdot 0.7 = 0.189 \) 4) \( P(3) = C_3^3 \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.3)^3 \cdot 1 = 0.027 \) Таблица: Количество успехов (k): 0 | 1 | 2 | 3 Вероятность (P(k)): 0.343 | 0.441 | 0.189 | 0.027 Задача 4. Реши задачу: На заводе 90% произведенных деталей соответствуют стандарту. Какова вероятность того, что из 5 случайно выбранных деталей ровно 4 будут соответствовать стандарту? Решение: \( n = 5, k = 4, p = 0.9, q = 0.1 \) \[ C_5^4 = 5 \] \[ P_5(4) = 5 \cdot (0.9)^4 \cdot (0.1)^1 = 5 \cdot 0.6561 \cdot 0.1 = 0.32805 \] Ответ: 0.32805. Задача 5. Найди решение: В семье 6 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки одинаковой (p = 0.5), найдите вероятность того, что в семье: а) ровно 3 мальчика; б) не менее 2 мальчиков. Решение: а) \( n = 6, k = 3, p = 0.5, q = 0.5 \) \[ C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \] \[ P_6(3) = 20 \cdot (0.5)^6 = 20 \cdot 0.015625 = 0.3125 \] б) Не менее 2 мальчиков — это \( P(k \ge 2) \). Проще найти через противоположное событие: \( 1 - (P(0) + P(1)) \). \[ P(0) = C_6^0 \cdot (0.5)^6 = 1 \cdot 0.015625 = 0.015625 \] \[ P(1) = C_6^1 \cdot (0.5)^6 = 6 \cdot 0.015625 = 0.09375 \] \[ P(k \ge 2) = 1 - (0.015625 + 0.09375) = 1 - 0.109375 = 0.890625 \] Ответ: а) 0.3125; б) 0.890625. Задача 6. Вычисли математическое ожидание (среднее значение) количества успехов в серии из 100 испытаний Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.7. Решение: Математическое ожидание для распределения Бернулли вычисляется по формуле: \[ M(X) = n \cdot p \] Где \( n = 100 \), \( p = 0.7 \). \[ M(X) = 100 \cdot 0.7 = 70 \] Ответ: 70.