Решение уравнений: 25^x = 25x, 0.3^(5-2x) = 0.09, (1/(5√5))^x = ³√5

Задания для самостоятельной работы Вариант I Задание 1. Какое из чисел \(-2, 0, 1\) является корнем уравнения \(25^x = 25x\)? Решение: Проверим каждое число подстановкой: 1) При \(x = -2\): \(25^{-2} = \frac{1}{625}\), а \(25 \cdot (-2) = -50\). \(\frac{1}{625} \neq -50\). 2) При \(x = 0\): \(25^0 = 1\), а \(25 \cdot 0 = 0\). \(1 \neq 0\). 3) При \(x = 1\): \(25^1 = 25\), а \(25 \cdot 1 = 25\). \(25 = 25\). Ответ: 1. Задание 2. \[0,3^{5-2x} = 0,09\] Решение: Так как \(0,09 = 0,3^2\), то: \[0,3^{5-2x} = 0,3^2\] \[5 - 2x = 2\] \[-2x = 2 - 5\] \[-2x = -3\] \[x = 1,5\] Ответ: 1,5. Задание 3. \[\left(\frac{1}{5\sqrt{5}}\right)^x = \sqrt[3]{5}\] Решение: Приведем к основанию 5: \[\frac{1}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{5^1 \cdot 5^{0,5}} = \frac{1}{5^{1,5}} = 5^{-1,5}\] \[\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}\] Уравнение примет вид: \[(5^{-1,5})^x = 5^{\frac{1}{3}}\] \[-1,5x = \frac{1}{3}\] \[-\frac{3}{2}x = \frac{1}{3}\] \[x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\] \[x = -\frac{2}{9}\] Ответ: \(-\frac{2}{9}\). Задание 4. \[225 \cdot 15^{2x+1} = 1\] Решение: Заметим, что \(225 = 15^2\): \[15^2 \cdot 15^{2x+1} = 15^0\] \[15^{2 + 2x + 1} = 15^0\] \[2x + 3 = 0\] \[2x = -3\] \[x = -1,5\] Ответ: -1,5. Задание 5. \[43^x = 8^{2x}\] Решение: \[43^x = (8^2)^x\] \[43^x = 64^x\] Разделим обе части на \(64^x \neq 0\): \[\left(\frac{43}{64}\right)^x = 1\] \[\left(\frac{43}{64}\right)^x = \left(\frac{43}{64}\right)^0\] \[x = 0\] Ответ: 0. Задание 6. \[3^{x-2} - 3^{x-3} = 6\] Решение: Вынесем за скобки меньшую степень: \[3^{x-3} \cdot (3^1 - 1) = 6\] \[3^{x-3} \cdot 2 = 6\] \[3^{x-3} = 3\] \[x - 3 = 1\] \[x = 4\] Ответ: 4. Задание 7. \[25^x + 4 \cdot 5^x - 5 = 0\] Решение: Пусть \(5^x = t\), где \(t > 0\). Тогда \(25^x = t^2\). \[t^2 + 4t - 5 = 0\] По теореме Виета: \(t_1 = -5\) (не подходит, так как \(t > 0\)), \(t_2 = 1\). Вернемся к замене: \[5^x = 1\] \[5^x = 5^0\] \[x = 0\] Ответ: 0. Задание 8. \[4^x - 12 \cdot 2^x + 32 = 0\] Решение: Пусть \(2^x = t\), где \(t > 0\). \[t^2 - 12t + 32 = 0\] По теореме Виета: \(t_1 = 4\), \(t_2 = 8\). 1) \(2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x_1 = 2\) 2) \(2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x_2 = 3\) Ответ: 2; 3. Задание 9. \[2^{\sqrt{x^2+1}} = 8\] Решение: \[2^{\sqrt{x^2+1}} = 2^3\] \[\sqrt{x^2+1} = 3\] Возведем в квадрат: \[x^2 + 1 = 9\] \[x^2 = 8\] \[x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\] Ответ: \(\pm 2\sqrt{2}\). Задание 10. \[(0,2)^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6\] Решение: Приведем к основанию 5: \(0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}\). \[(5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = (5^{-1})^6\] \[5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6}\] \[-x^2 + 2x + 2 = -6\] \[x^2 - 2x - 8 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 4, x_2 = -2\). Ответ: -2; 4. Задание 11. \[2 \cdot 9^x - 17 \cdot 3^x = 9\] Решение: Пусть \(3^x = t, t > 0\). \[2t^2 - 17t - 9 = 0\] \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361 = 19^2\] \[t_1 = \frac{17 + 19}{4} = 9\] \[t_2 = \frac{17 - 19}{4} = -0,5\) (не подходит) \[3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2\] Ответ: 2. Задание 12. \[(\sqrt{5})^{|3-x|} = 25\] Решение: \[(5^{0,5})^{|3-x|} = 5^2\] \[0,5 \cdot |3-x| = 2\] \[|3-x| = 4\] 1) \(3 - x = 4 \Rightarrow x_1 = -1\) 2) \(3 - x = -4 \Rightarrow x_2 = 7\) Ответ: -1; 7.