Решение контрольной работы по теме «Показательная функция», Вариант 1

Контрольная работа по теме «Показательная функция» Вариант 1. 1. Решите уравнения: 1) \( 3^{5x+1} = 27 \) \[ 3^{5x+1} = 3^3 \] \[ 5x + 1 = 3 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = 0,4 \] Ответ: 0,4. 2) \( 5^{x^2-5x-14} = 1 \) \[ 5^{x^2-5x-14} = 5^0 \] \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 5 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -14 \] \[ x_1 = 7; x_2 = -2 \] Ответ: -2; 7. 3) \( 3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279 \) Вынесем \( 3^{x-1} \) за скобки: \[ 3^{x-1} \cdot (3^3 + 4) = 279 \] \[ 3^{x-1} \cdot (27 + 4) = 279 \] \[ 3^{x-1} \cdot 31 = 279 \] \[ 3^{x-1} = 9 \] \[ 3^{x-1} = 3^2 \] \[ x - 1 = 2 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3. 4) \( 3 \cdot 81^x - 10 \cdot 9^x + 3 = 0 \) Заметим, что \( 81^x = (9^x)^2 \). Пусть \( 9^x = t \), где \( t > 0 \). \[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \] \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] \[ t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3 \] \[ t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3} \] Обратная замена: а) \( 9^x = 3 \Rightarrow 3^{2x} = 3^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0,5 \) б) \( 9^x = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^{2x} = 3^{-1} \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0,5 \) Ответ: -0,5; 0,5. 2. Решите неравенства: 1) \( 4^x > \frac{1}{64} \) \[ 4^x > 4^{-3} \] Так как \( 4 > 1 \), то \( x > -3 \). Ответ: \( (-3; +\infty) \). 2) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2x} < \frac{1}{81} \) \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x} < \left(\frac{1}{3}\right)^4 \] Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), знак меняется: \[ 2x > 4 \Rightarrow x > 2 \] Ответ: \( (2; +\infty) \). 3) \( 5^{x-1} + 5^{x+1} \le 26 \) \[ 5^{x-1} \cdot (1 + 5^2) \le 26 \] \[ 5^{x-1} \cdot 26 \le 26 \] \[ 5^{x-1} \le 1 \] \[ 5^{x-1} \le 5^0 \Rightarrow x - 1 \le 0 \Rightarrow x \le 1 \] Ответ: \( (-\infty; 1] \). 4) \( 3^{2x+1} - 28 \cdot 3^x + 9 > 0 \) Пусть \( 3^x = t \), \( t > 0 \). \[ 3t^2 - 28t + 9 > 0 \] Корни уравнения \( 3t^2 - 28t + 9 = 0 \): \( t_1 = 9, t_2 = \frac{1}{3} \). Решение неравенства: \( t < \frac{1}{3} \) или \( t > 9 \). Обратная замена: а) \( 3^x < 3^{-1} \Rightarrow x < -1 \) б) \( 3^x > 3^2 \Rightarrow x > 2 \) Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \). 3. Решите систему: \[ \begin{cases} x - y = 4 \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( 5^{x+y} = 5^2 \Rightarrow x + y = 2 \). \[ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} \] Сложим уравнения: \( 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). Подставим в первое: \( 3 - y = 4 \Rightarrow y = -1 \). Ответ: (3; -1). Дополнительно: 1) Решить уравнение: \( 2^{x+5} - 3^{x+3} = 2^{x+1} + 6 \cdot 3^{x+1} \) \[ 2^{x+5} - 2^{x+1} = 3^{x+3} + 6 \cdot 3^{x+1} \] \[ 2^{x+1} \cdot (2^4 - 1) = 3^{x+1} \cdot (3^2 + 6) \] \[ 2^{x+1} \cdot 15 = 3^{x+1} \cdot 15 \] \[ 2^{x+1} = 3^{x+1} \Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} = 1 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Ответ: -1. 2) Решить систему: \[ \begin{cases} 3^{x^2} < 3^{16} \\ 2^{x^2-4x} = 32 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( 2^{x^2-4x} = 2^5 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \). Корни: \( x_1 = 5, x_2 = -1 \). Проверим первое неравенство \( x^2 < 16 \): Для \( x = 5 \): \( 25 < 16 \) (ложно). Для \( x = -1 \): \( 1 < 16 \) (истинно). Ответ: -1.