Решение задачи: Зависимость вязкости газа от температуры

Для решения этой задачи проанализируем формулу динамической вязкости \( \eta \) из молекулярно-кинетической теории: \[ \eta = \frac{1}{3} \rho \langle v \rangle \lambda \] Разберем зависимости величин от температуры \( T \): 1. Плотность \( \rho \) при постоянном давлении обратно пропорциональна температуре (\( 1/T \)). 2. Средняя скорость молекул \( \langle v \rangle \) пропорциональна \( \sqrt{T} \) (или \( T^{1/2} \)). 3. Средняя длина свободного пробега \( \lambda \) в идеальном случае пропорциональна \( T \). Если перемножить эти зависимости (\( \frac{1}{T} \cdot T^{1/2} \cdot T \)), то в простейшей модели вязкость зависит от температуры как \( T^{1/2} \). Однако в реальных газах необходимо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия. Для этого используется формула Сазерленда, которая уточняет зависимость длины свободного пробега от температуры: \[ \eta \sim \frac{T^{3/2}}{T + C} \] где \( C \) — постоянная Сазерленда, характеризующая силы притяжения между молекулами. Рассмотрим два предельных случая: 1. При очень высоких температурах (\( T \gg C \)) слагаемым \( C \) в знаменателе можно пренебречь. Тогда \( \eta \sim \frac{T^{3/2}}{T} = T^{1/2} \). 2. При низких температурах (\( T \ll C \)) температура в знаменателе мала по сравнению с константой. Тогда \( \eta \sim \frac{T^{3/2}}{C} \), то есть зависимость близка к \( T^{3/2} \). Таким образом, показатель степени \( x \) в зависимости \( T^x \) плавно меняется в зависимости от температурного диапазона. Правильный ответ: Зависит от \( T^x \), где \( x \) изменяется от \( 1/2 \): при высоких температурах \( T \gg C \) до \( 3/2 \) при низких температурах \( T \ll C \).