Решение задачи: Ускорение точки при движении по окружности

Ниже представлены решения задач для записи в тетрадь. Вопрос 8. Точка движется по окружности радиусом \( R = 6 \) см по закону \( S = 3t^2 \). Определить модуль полного ускорения точки. Дано: \( R = 6 \) см \( S = 3t^2 \) Найти: \( a \) Решение: 1. Находим скорость точки как производную от пути по времени: \[ v = \frac{dS}{dt} = (3t^2)' = 6t \] 2. Находим касательное ускорение как производную от скорости: \[ a_{\tau} = \frac{dv}{dt} = (6t)' = 6 \] 3. Находим нормальное ускорение: \[ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(6t)^2}{6} = \frac{36t^2}{6} = 6t^2 \] 4. Находим модуль полного ускорения: \[ a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2} = \sqrt{6^2 + (6t^2)^2} = \sqrt{36 + 36t^4} = \sqrt{36(1 + t^4)} = 6\sqrt{1 + t^4} \] Ответ: C (\( a = 6\sqrt{1 + t^4} \)) Вопрос 9. Сравните ускорения точек А и В. Решение: 1. Точка \( B \) находится на ободе вращающегося диска. Её полное ускорение складывается из касательного и нормального: \[ a_B = \sqrt{a_{\tau B}^2 + a_{n B}^2} \] где \( a_{\tau B} = \varepsilon \cdot R \) и \( a_{n B} = \omega^2 \cdot R \). 2. Точка \( A \) находится на нити, которая сматывается с диска. Скорость точки \( A \) в любой момент равна скорости точек на ободе диска (\( v_A = v_B \)). Однако точка \( A \) движется прямолинейно. 3. При прямолинейном движении нормальное ускорение равно нулю (\( a_{n A} = 0 \)). Следовательно, полное ускорение точки \( A \) равно только её касательному ускорению: \[ a_A = a_{\tau A} = \varepsilon \cdot R \] 4. Сравнивая выражения, видим, что у точки \( B \) есть дополнительная составляющая (нормальное ускорение), которой нет у точки \( A \): \[ a_B = \sqrt{(\varepsilon R)^2 + (\omega^2 R)^2} > a_A = \varepsilon R \] Ответ: \( a(A) < a(B) \)