Решение задачи по теоретической механике: радиус инерции и колебания

Ниже представлены ответы на вопросы по теоретической механике для записи в тетрадь. Вопрос про радиус инерции (верхний на фото). Радиусом инерции твердого тела называют: Ответ: расстояние от оси до точки, масса которой равна массе тела, а момент инерции точки относительно этой оси равен моменту инерции тела относительно этой же оси. Пояснение: Радиус инерции \( \rho \) связан с моментом инерции \( I \) и массой тела \( m \) формулой: \[ I = m \cdot \rho^2 \Rightarrow \rho = \sqrt{\frac{I}{m}} \] Это геометрическая характеристика распределения массы тела относительно оси. Вопрос про график колебаний (средний на фото). На представленном рисунке величина обозначенная как «а» - это... Ответ: период свободных колебаний Пояснение: На графике показана зависимость координаты \( x \) от времени \( t \). Величина «а» соответствует временному интервалу между двумя соседними максимумами (пиками) гармонической кривой. Это время, за которое совершается одно полное колебание, что по определению является периодом \( T \). Так как амплитуда не уменьшается, это свободные незатухающие колебания. Вопрос про сравнение периодов колебаний (нижний на фото). Сравните периоды свободных колебаний груза массой m, прикреплённого к двум пружинам с равными жёсткостями. Решение: Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{экв}}} \] где \( k_{экв} \) — эквивалентная жесткость системы пружин. 1. На левом рисунке пружины соединены параллельно. Эквивалентная жесткость: \[ k_{лев} = c + c = 2c \] Период: \( T_{лев} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2c}} \) 2. На правом рисунке пружины соединены последовательно. Эквивалентная жесткость: \[ \frac{1}{k_{прав}} = \frac{1}{c} + \frac{1}{c} = \frac{2}{c} \Rightarrow k_{прав} = \frac{c}{2} \] Период: \( T_{прав} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{c/2}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{c}} \) 3. Сравним периоды: \[ \frac{T_{прав}}{T_{лев}} = \frac{\sqrt{2m/c}}{\sqrt{m/2c}} = \sqrt{\frac{2m}{c} \cdot \frac{2c}{m}} = \sqrt{4} = 2 \] Следовательно, период системы с последовательным соединением (справа) в 2 раза больше периода системы с параллельным соединением (слева). Ответ: \( T_{лев} < T_{прав} \) (или \( T_1 < T_2 \))