Решение задачи: Апериодическое движение

Ниже представлены решения задач для записи в тетрадь. Вопрос 17. Какие колебания описывает данное дифференциальное уравнение: \[ \ddot{x} + 2n\dot{x} + k^2x = 0; \quad n = k \] Ответ: апериодическое движение Решение: Данное уравнение описывает систему с сопротивлением. Характер движения зависит от соотношения между коэффициентом затухания \( n \) и собственной частотой \( k \): 1. Если \( n < k \), наблюдаются затухающие колебания. 2. Если \( n > k \), движение носит апериодический характер (система медленно возвращается к равновесию без колебаний). 3. Если \( n = k \), это критический случай, который также относится к апериодическому движению (граничный режим). Вопрос 18. Материальная точка массой 20 кг движется согласно уравнениям \( x = 4\cos t \), \( y = 3\cos t \). Определить величину равнодействующей \( R \) сил. Дано: \( m = 20 \) кг \( x = 4\cos t \) \( y = 3\cos t \) Найти: \( R \) Решение: 1. Найдем проекции ускорения как вторые производные координат по времени: \[ a_x = \ddot{x} = (4\cos t)'' = (-4\sin t)' = -4\cos t \] \[ a_y = \ddot{y} = (3\cos t)'' = (-3\sin t)' = -3\cos t \] 2. Найдем модуль полного ускорения: \[ a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-4\cos t)^2 + (-3\cos t)^2} = \sqrt{16\cos^2 t + 9\cos^2 t} = \sqrt{25\cos^2 t} = 5\cos t \] 3. По второму закону Ньютона равнодействующая сила: \[ R = m \cdot a = 20 \cdot 5\cos t = 100\cos t \] Ответ: \( R = 100\cos t \) Вопрос 19. К материальной точке массой \( m = 2 \) кг приложена сила \( F = 2S \), направленная противоположно скорости. Найти начальную скорость, если до остановки точка прошла путь \( S \). Решение: Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: \[ \Delta T = A \] \[ T_{кон} - T_{нач} = \int_0^S F_x ds \] Так как точка останавливается, \( T_{кон} = 0 \). Сила направлена против движения, поэтому её проекция отрицательна (\( F_x = -2s \)): \[ 0 - \frac{mv_0^2}{2} = \int_0^S -2s \, ds \] \[ -\frac{2 \cdot v_0^2}{2} = - \left[ s^2 \right]_0^S \] \[ -v_0^2 = -S^2 \] \[ v_0 = S \] Ответ: \( v_0 = S \) (Примечание: на фото не видно вариантов ответа, но расчет приводит к этому результату).