Решение задачи: определение начальной скорости материальной точки

Ниже представлены решения задач для записи в тетрадь. Вопрос 19. К материальной точке массой \( m = 2 \) кг приложена сила \( F = 2S \), направленная противоположно скорости. Найти начальную скорость, если до остановки точка прошла путь \( S = 10 \) м. Дано: \( m = 2 \) кг \( F = 2s \) \( S = 10 \) м \( v_{кон} = 0 \) Найти: \( v_0 \) Решение: Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: \[ T_{кон} - T_{нач} = A \] 1. Кинетическая энергия в конце пути \( T_{кон} = 0 \) (так как точка остановилась). 2. Начальная кинетическая энергия: \( T_{нач} = \frac{mv_0^2}{2} \). 3. Работа силы \( F \), направленной противоположно движению: \[ A = \int_{0}^{S} -F \, ds = \int_{0}^{10} -2s \, ds = - \left[ s^2 \right]_{0}^{10} = -100 \text{ Дж} \] 4. Подставляем в уравнение теоремы: \[ 0 - \frac{2 \cdot v_0^2}{2} = -100 \] \[ -v_0^2 = -100 \] \[ v_0 = \sqrt{100} = 10 \text{ м/с} \] Ответ: 10 м/с Вопрос 20. Дано дифференциальное уравнение: \( \ddot{y} + 2\dot{y} + 50y = 0 \). Определить период затухающих колебаний. Решение: 1. Уравнение затухающих колебаний имеет вид: \( \ddot{y} + 2n\dot{y} + k^2y = 0 \). Из уравнения находим: - Коэффициент затухания: \( 2n = 2 \Rightarrow n = 1 \). - Квадрат собственной частоты: \( k^2 = 50 \). 2. Частота затухающих колебаний \( k^* \) вычисляется по формуле: \[ k^* = \sqrt{k^2 - n^2} = \sqrt{50 - 1^2} = \sqrt{49} = 7 \text{ с}^{-1} \] 3. Период затухающих колебаний \( T \) связан с частотой формулой: \[ T = \frac{2\pi}{k^*} = \frac{2\pi}{7} \approx 0,285\pi \] Ближайшее значение из предложенных вариантов (учитывая возможную опечатку в условии или округление): Вариант Б: \( T = 0,3\pi \) (так как \( 2/7 \approx 0,286 \)). Ответ: Б (\( T = 0,3\pi \))