Решение задач с арксинусом и арккосинусом

Ниже представлено решение задач из карточки в удобном для переписывания в тетрадь виде. Задание 1. Вычислите: а) \(\arcsin 1 - \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\) Вспомним значения: \(\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}\), а \(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\). \[ \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \] б) \(\text{tg}\left(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) Так как \(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}\), то: \[ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \] в) \(\arccos\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)\) Так как \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), то: \[ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \] г) \(\sin\left(\arcsin \frac{2}{7}\right)\) По определению обратных тригонометрических функций \(\sin(\arcsin x) = x\): \[ \sin\left(\arcsin \frac{2}{7}\right) = \frac{2}{7} \] д) \(\arccos(-1) - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) Значения: \(\arccos(-1) = \pi\), \(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\). \[ \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] е) \(\arcsin\left(\cos \frac{2\pi}{3}\right)\) Так как \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), то: \[ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} \] ж) \(\arcsin\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)\) Так как \(\frac{\pi}{6}\) входит в область значений арксинуса \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ \arcsin\left(\sin \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} \] Задание 2. Постройте график функции \(y = \arcsin(x + 1)\) и укажите \(D(f)\) и \(E(f)\). 1. Область определения \(D(f)\): Аргумент арксинуса должен находиться в пределах от -1 до 1. \[ -1 \le x + 1 \le 1 \] Вычитаем 1 из всех частей неравенства: \[ -2 \le x \le 0 \] Следовательно, \(D(f) = [-2; 0]\). 2. Область значений \(E(f)\): Область значений функции арксинус не меняется при сдвиге аргумента. \[ E(f) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] \] 3. Описание графика: График функции \(y = \arcsin(x + 1)\) получается из графика \(y = \arcsin x\) путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу влево вдоль оси \(Ox\). Контрольные точки для построения: При \(x = -2\): \(y = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\) При \(x = -1\): \(y = \arcsin(0) = 0\) При \(x = 0\): \(y = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\)