Решение квадратных уравнений: Вариант 3

Вариант 3 Задание 1. Решите уравнение: а) \( 4x^2 - 12 = 0 \) \[ 4x^2 = 12 \] \[ x^2 = 12 : 4 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3} \] Ответ: \( \pm\sqrt{3} \) б) \( x^2 - 2x = 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \[ x(x - 2) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x - 2 = 0 \] \[ x_2 = 2 \] Ответ: 0; 2. Задание 2. Решите уравнения: а) \( x^2 + 7x + 12 = 0 \) Решим через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Ответ: -4; -3. б) \( 3x^2 + 2x - 1 = 0 \) \[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Ответ: -1; \( \frac{1}{3} \). Задание 3. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 18 м, а площадь \( 20 \, \text{м}^2 \). Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. Периметр \( P = 2(a + b) = 18 \), отсюда \( a + b = 9 \), значит \( b = 9 - a \). Площадь \( S = a \cdot b = 20 \). Составим уравнение: \[ a(9 - a) = 20 \] \[ 9a - a^2 - 20 = 0 \] \[ a^2 - 9a + 20 = 0 \] По теореме Виета: \[ a_1 + a_2 = 9 \] \[ a_1 \cdot a_2 = 20 \] Корни: \( a_1 = 4, a_2 = 5 \). Если \( a = 4 \), то \( b = 9 - 4 = 5 \). Ответ: 4 м и 5 м. Задание 4. Решите уравнение: \( 2x - (x + 1)^2 = 3x - 6 \) Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: \[ 2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x - 6 \] \[ 2x - x^2 - 2x - 1 - 3x + 6 = 0 \] Приведем подобные слагаемые: \[ -x^2 - 3x + 5 = 0 \] Умножим на -1: \[ x^2 + 3x - 5 = 0 \] \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29 \] \[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} \] Ответ: \( \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} \).