Упрощение тригонометрического выражения: sin(2α) - sin(3α) + sin(4α)

Задание 1. Упростите выражение \[ \frac{\sin 2\alpha - \sin 3\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 3\alpha + \cos 4\alpha} \] Решение: Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе: \[ \frac{(\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) - \sin 3\alpha}{(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) - \cos 3\alpha} \] Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов: \( \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \) \( \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \) Получаем: \[ \frac{2 \sin \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha - 2\alpha}{2} - \sin 3\alpha}{2 \cos \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha - 2\alpha}{2} - \cos 3\alpha} = \frac{2 \sin 3\alpha \cos \alpha - \sin 3\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha} \] Вынесем общие множители за скобки: \[ \frac{\sin 3\alpha (2 \cos \alpha - 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos \alpha - 1)} \] Сократим дробь на \( (2 \cos \alpha - 1) \): \[ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \text{tg } 3\alpha \] Ответ: \( \text{tg } 3\alpha \) Задание 2. Решите уравнение \[ \sqrt{3} \sin 7x - \cos 7x = 1 \] Решение: Разделим обе части уравнения на 2: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 7x - \frac{1}{2} \cos 7x = \frac{1}{2} \] Заметим, что \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6} \), а \( \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6} \). Подставим эти значения: \[ \sin 7x \cos \frac{\pi}{6} - \cos 7x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Используем формулу синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \): \[ \sin \left( 7x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \] Решим простейшее тригонометрическое уравнение: \[ 7x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ 7x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \] \[ 7x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \] \[ x = \frac{\pi}{42} + (-1)^k \frac{\pi}{42} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \frac{\pi}{42} + (-1)^k \frac{\pi}{42} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} \)