Решение задачи с тригонометрическими функциями

Задание 3. Найдите значение выражения: 1) \( 4 \cos 60^\circ + 2 \sin 45^\circ - 2\sqrt{3} \text{ tg } 30^\circ \) Подставим табличные значения: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \); \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \); \( \text{ tg } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \). \[ 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 + \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 + \sqrt{2} - 2 = \sqrt{2} \] 2) \( \sqrt{2} \cos 45^\circ - 3\sqrt{3} \text{ tg } 60^\circ + 6 \cos 30^\circ \) Подставим значения: \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \); \( \text{ tg } 60^\circ = \sqrt{3} \); \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). \[ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} - 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 1 - 9 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 8 \] 3) \( 2 \cos \frac{\pi}{6} - 4 \text{ ctg } \frac{\pi}{4} + 2 \sin \frac{\pi}{6} \) Подставим значения: \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \); \( \text{ ctg } \frac{\pi}{4} = 1 \); \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \). \[ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} - 4 + 1 = \sqrt{3} - 3 \] 4) \( 4 \text{ tg } \frac{\pi}{4} - 2 \cos \frac{\pi}{3} - 2 \sin \frac{\pi}{6} \) Подставим значения: \( \text{ tg } \frac{\pi}{4} = 1 \); \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \); \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \). \[ 4 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 - 1 - 1 = 2 \] 5) \( 3 \sin \frac{\pi}{2} + \cos 2\pi - 4 \text{ tg } 0 + \sin \pi + \cos \frac{\pi}{2} \) Подставим значения: \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \); \( \cos 2\pi = 1 \); \( \text{ tg } 0 = 0 \); \( \sin \pi = 0 \); \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \). \[ 3 \cdot 1 + 1 - 4 \cdot 0 + 0 + 0 = 3 + 1 = 4 \] 6) \( 4 \cos 180^\circ - 3 \sin 270^\circ + 3 \sin 360^\circ - \text{ ctg } 90^\circ \) Подставим значения: \( \cos 180^\circ = -1 \); \( \sin 270^\circ = -1 \); \( \sin 360^\circ = 0 \); \( \text{ ctg } 90^\circ = 0 \). \[ 4 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 - 0 = -4 + 3 = -1 \]