Решение задачи: определение жесткости и периода пружинного маятника

Дано: \( m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг} \) \( v = 4 \text{ м/с} \) \( A = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м} \) \( x = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \) Найти: \( k - ? \) \( T - ? \) Решение: Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии для пружинного маятника. Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий в любой момент времени, а также равна максимальной потенциальной энергии при максимальном отклонении (амплитуде): \[ E_{полн} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} \] Из правой части уравнения выразим жесткость пружины \( k \): \[ mv^2 + kx^2 = kA^2 \] \[ mv^2 = kA^2 - kx^2 \] \[ mv^2 = k(A^2 - x^2) \] \[ k = \frac{mv^2}{A^2 - x^2} \] Подставим числовые значения: \[ k = \frac{0,5 \cdot 4^2}{0,5^2 - 0,2^2} = \frac{0,5 \cdot 16}{0,25 - 0,04} = \frac{8}{0,21} \approx 38,1 \text{ Н/м} \] Теперь найдем период колебаний \( T \) по формуле: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] Подставим значения: \[ T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,5}{38,1}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,0131} \approx 6,28 \cdot 0,114 \approx 0,72 \text{ с} \] Ответ: \( k \approx 38,1 \text{ Н/м} \), \( T \approx 0,72 \text{ с} \).