Решение: Преобразования тригонометрических выражений

Самостоятельная работа 2. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Ниже представлено решение первых пунктов из каждого задания для примера оформления в тетради. Задание 1. Выразить в радианной мере. Для перевода из градусов в радианы используется формула: \(\alpha_{рад} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ}\). а) \(10^\circ, 135^\circ, -60^\circ\); 1) \(10^\circ = \frac{10 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{18}\) рад; 2) \(135^\circ = \frac{135 \cdot \pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\) рад; 3) \(-60^\circ = -\frac{60 \cdot \pi}{180} = -\frac{\pi}{3}\) рад. Задание 2. Выразить в градусной мере величины углов. Для перевода из радиан в градусы используется формула: \(\alpha^\circ = \frac{\alpha_{рад} \cdot 180^\circ}{\pi}\). а) \(\frac{7\pi}{6}, -\frac{\pi}{5}, 0,3\pi\); 1) \(\frac{7\pi}{6} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ\); 2) \(-\frac{\pi}{5} = -\frac{180^\circ}{5} = -36^\circ\); 3) \(0,3\pi = 0,3 \cdot 180^\circ = 54^\circ\). Задание 3. Найдите значение выражения. 1) \(4 \cos 60^\circ + 2 \sin 45^\circ - 2\sqrt{3} \text{ tg } 30^\circ\) Используем табличные значения: \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\text{ tg } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). \[4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 + \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 + \sqrt{2} - 2 = \sqrt{2}\] Ответ: \(\sqrt{2}\). 2) \(\sqrt{2} \cos 45^\circ - 3\sqrt{3} \text{ tg } 60^\circ + 6 \cos 30^\circ\) Значения: \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\text{ tg } 60^\circ = \sqrt{3}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} - 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 1 - 9 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 8\] Ответ: \(3\sqrt{3} - 8\). 3) \(2 \cos \frac{\pi}{6} - 4 \text{ ctg } \frac{\pi}{4} + 2 \sin \frac{\pi}{6}\) Значения: \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\text{ ctg } \frac{\pi}{4} = 1\), \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). \[2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} - 4 + 1 = \sqrt{3} - 3\] Ответ: \(\sqrt{3} - 3\). 4) \(4 \text{ tg } \frac{\pi}{4} - 2 \cos \frac{\pi}{3} - 2 \sin \frac{\pi}{6}\) Значения: \(\text{ tg } \frac{\pi}{4} = 1\), \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\), \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). \[4 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 - 1 - 1 = 2\] Ответ: \(2\). 5) \(3 \sin \frac{\pi}{2} + \cos 2\pi - 4 \text{ tg } 0 + \sin \pi + \cos \frac{\pi}{2}\) Значения: \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), \(\cos 2\pi = 1\), \(\text{ tg } 0 = 0\), \(\sin \pi = 0\), \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\). \[3 \cdot 1 + 1 - 4 \cdot 0 + 0 + 0 = 3 + 1 = 4\] Ответ: \(4\). 6) \(4 \cos 180^\circ - 3 \sin 270^\circ + 3 \sin 360^\circ - \text{ ctg } 90^\circ\) Значения: \(\cos 180^\circ = -1\), \(\sin 270^\circ = -1\), \(\sin 360^\circ = 0\), \(\text{ ctg } 90^\circ = 0\). \[4 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 - 0 = -4 + 3 = -1\] Ответ: \(-1\).