Решение задачи: Построение градуировочного графика и определение содержания марганца

Для решения задачи по построению градуировочного графика и определению содержания марганца в контрольном образце воспользуемся методом наименьших квадратов. 1. Составим таблицу промежуточных вычислений для n = 6 точек: \(x_i\) (мг): 0,01; 0,03; 0,05; 0,07; 0,09; 0,10. \(y_i\) (A): 0,096; 0,255; 0,446; 0,625; 0,816; 0,917. Рассчитаем необходимые суммы: \[ \sum x_i = 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,07 + 0,09 + 0,10 = 0,35 \] \[ \sum y_i = 0,096 + 0,255 + 0,446 + 0,625 + 0,816 + 0,917 = 3,155 \] \[ \sum x_i^2 = 0,01^2 + 0,03^2 + 0,05^2 + 0,07^2 + 0,09^2 + 0,10^2 = 0,0265 \] \[ \sum y_i^2 = 0,096^2 + 0,255^2 + 0,446^2 + 0,625^2 + 0,816^2 + 0,917^2 \approx 2,158 \] \[ \sum x_i y_i = 0,01 \cdot 0,096 + 0,03 \cdot 0,255 + 0,05 \cdot 0,446 + 0,07 \cdot 0,625 + 0,09 \cdot 0,816 + 0,10 \cdot 0,917 = 0,23985 \] 2. Рассчитаем коэффициенты уравнения \(y = a + bx\): Знаменатель для \(a\) и \(b\): \[ D = n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 = 6 \cdot 0,0265 - (0,35)^2 = 0,159 - 0,1225 = 0,0365 \] Коэффициент \(b\): \[ b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{D} = \frac{6 \cdot 0,23985 - 0,35 \cdot 3,155}{0,0365} = \frac{1,4391 - 1,10425}{0,0365} \approx 9,174 \] Коэффициент \(a\): \[ a = \frac{\sum x_i^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i}{D} = \frac{0,0265 \cdot 3,155 - 0,35 \cdot 0,23985}{0,0365} = \frac{0,0836075 - 0,0839475}{0,0365} \approx -0,0093 \] Уравнение прямой: \(y = -0,0093 + 9,174x\) 3. Рассчитаем коэффициент корреляции \(r\): \[ r = b \cdot \sqrt{\frac{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}{n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2}} \] \[ n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2 = 6 \cdot 2,158 - (3,155)^2 = 12,948 - 9,954 = 2,994 \] \[ r = 9,174 \cdot \sqrt{\frac{0,0365}{2,994}} \approx 9,174 \cdot 0,1104 \approx 0,9998 \] Коэффициент корреляции близок к 1, что говорит о высокой точности модели. 4. Обработка результатов для контрольного образца: Данные: 0,712; 0,731; 0,703; 0,755; 0,739; 0,729; 0,733; 0,738; 0,737. Среднее значение оптической плотности \(\bar{A}\): \[ \bar{A} = \frac{0,712 + 0,731 + 0,703 + 0,755 + 0,739 + 0,729 + 0,733 + 0,738 + 0,737}{9} = \frac{6,577}{9} \approx 0,731 \] Проверим на промахи (сомнительные результаты) крайние значения 0,703 и 0,755 по Q-критерию: \[ Q_{exp} = \frac{0,712 - 0,703}{0,755 - 0,703} = \frac{0,009}{0,052} \approx 0,17 \] Для n=9 \(Q_{crit} = 0,46\) (при P=0,95). Так как \(Q_{exp} < Q_{crit}\), данные не исключаем. 5. Расчет содержания марганца \(x\) в контрольном образце: Используем уравнение \(y = a + bx\), где \(y = \bar{A}\): \[ 0,731 = -0,0093 + 9,174 \cdot x \] \[ 9,174 \cdot x = 0,731 + 0,0093 \] \[ x = \frac{0,7403}{9,174} \approx 0,0807 \text{ мг} \] Ответ: Уравнение прямой \(y = -0,0093 + 9,174x\); коэффициент корреляции \(r = 0,9998\); содержание марганца в образце составляет 0,0807 мг.