Задача 1. Какому промежутку принадлежит число \(\sqrt{53}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [4; 5]
2) [5; 6]
3) [6; 7]
4) [7; 8]
Решение:
Чтобы определить, какому промежутку принадлежит число \(\sqrt{53}\), нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых находятся по обе стороны от 53.
Рассмотрим квадраты целых чисел:
- \(4^2 = 16\)
- \(5^2 = 25\)
- \(6^2 = 36\)
- \(7^2 = 49\)
- \(8^2 = 64\)
Мы видим, что \(49 < 53 < 64\).
Это означает, что \(\sqrt{49} < \sqrt{53} < \sqrt{64}\).
То есть, \(7 < \sqrt{53} < 8\).
Следовательно, число \(\sqrt{53}\) принадлежит промежутку [7; 8].
Ответ: 4
Задача 2. На координатной прямой точками отмечены числа \(\frac{2}{9}\); \(\frac{3}{13}\); 0,24; 0,21.
Какому числу соответствует точка A?
1) \(\frac{2}{9}\)
2) \(\frac{3}{13}\)
3) 0,24
4) 0,21
Решение:
Для того чтобы определить, какому числу соответствует точка A, нужно сравнить все данные числа и расположить их в порядке возрастания. Точка A является самой левой точкой на координатной прямой, что означает, что она соответствует наименьшему числу.
Переведем все числа в десятичные дроби для удобства сравнения:
- \(\frac{2}{9} \approx 0,222...\)
- \(\frac{3}{13} \approx 0,2307...\)
- 0,24
- 0,21
Теперь расположим эти числа в порядке возрастания:
\(0,21 < 0,222... < 0,2307... < 0,24\)
То есть:
\(0,21 < \frac{2}{9} < \frac{3}{13} < 0,24\)
На координатной прямой точки расположены в порядке возрастания слева направо. Точка A - самая левая, значит, она соответствует наименьшему числу.
Наименьшее число из данного списка - 0,21.
Ответ: 4
Задача 3. На координатной прямой отмечены числа \(a\), \(b\), и \(c\). Укажите номер верного утверждения.
1) \(a+b > 0\)
2) \(\frac{1}{b} > \frac{1}{c}\)
3) \(ab < 0\)
4) \((a-b)c < 0\)
Решение:
Посмотрим на координатную прямую. Мы видим, что:
- Число \(a\) находится слева от нуля, значит, \(a < 0\).
- Число \(b\) находится слева от нуля, но правее \(a\), значит, \(a < b < 0\).
- Число \(c\) находится справа от нуля, значит, \(c > 0\).
- Также видно, что \(|a| > |b|\) (расстояние от нуля до \(a\) больше, чем до \(b\)).
Проверим каждое утверждение:
1) \(a+b > 0\)
Оба числа \(a\) и \(b\) отрицательные. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Значит, \(a+b < 0\). Утверждение неверно.
2) \(\frac{1}{b} > \frac{1}{c}\)
Число \(b\) отрицательное, значит \(\frac{1}{b}\) тоже отрицательное. Число \(c\) положительное, значит \(\frac{1}{c}\) тоже положительное. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Значит, \(\frac{1}{b} < \frac{1}{c}\). Утверждение неверно.
3) \(ab < 0\)
Число \(a\) отрицательное (\(a < 0\)). Число \(b\) отрицательное (\(b < 0\)). Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно. Значит, \(ab > 0\). Утверждение неверно.
4) \((a-b)c < 0\)
Рассмотрим выражение \((a-b)\). Так как \(a < b\) (например, \(a = -3\), \(b = -1\)), то \(a-b\) будет отрицательным числом (\(-3 - (-1) = -2\)). Значит, \((a-b) < 0\).
Число \(c\) положительное (\(c > 0\)).
Произведение отрицательного числа на положительное число всегда отрицательно. Значит, \((a-b)c < 0\). Утверждение верно.
Ответ: 4
Задача 4. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [7; 8]?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(\sqrt{7}\)
2) \(\sqrt{8}\)
3) \(\sqrt{42}\)
4) \(\sqrt{61}\)
Решение:
Промежуток [7; 8] означает, что число должно быть больше или равно 7 и меньше или равно 8. То есть, \(7 \le x \le 8\).
Возведем границы промежутка в квадрат: \(7^2 = 49\) и \(8^2 = 64\).
Значит, число \(x\) должно удовлетворять условию \(\sqrt{49} \le x \le \sqrt{64}\).
Теперь проверим каждое из предложенных чисел:
1) \(\sqrt{7}\)
Мы знаем, что \(\sqrt{4} = 2\) и \(\sqrt{9} = 3\). Значит, \(2 < \sqrt{7} < 3\). Это число не принадлежит промежутку [7; 8].
2) \(\sqrt{8}\)
Аналогично, \(2 < \sqrt{8} < 3\). Это число не принадлежит промежутку [7; 8].
3) \(\sqrt{42}\)
Мы знаем, что \(\sqrt{36} = 6\) и \(\sqrt{49} = 7\). Значит, \(6 < \sqrt{42} < 7\). Это число не принадлежит промежутку [7; 8].
4) \(\sqrt{61}\)
Мы знаем, что \(\sqrt{49} = 7\) и \(\sqrt{64} = 8\). Так как \(49 < 61 < 64\), то \(\sqrt{49} < \sqrt{61} < \sqrt{64}\). Значит, \(7 < \sqrt{61} < 8\). Это число принадлежит промежутку [7; 8].
Ответ: 4
Задача 5. Одно из чисел \(\frac{58}{13}\); \(\frac{69}{13}\); \(\frac{76}{13}\); \(\frac{83}{13}\) отмечено на прямой точкой. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(\frac{58}{13}\)
2) \(\frac{69}{13}\)
3) \(\frac{76}{13}\)
4) \(\frac{83}{13}\)
Решение:
На координатной прямой отмечена точка, которая находится между числами 5 и 6. Чтобы определить, какое из предложенных чисел соответствует этой точке, нужно перевести все дроби в смешанные числа или десятичные дроби и сравнить их с 5 и 6.
1) \(\frac{58}{13}\)
Разделим 58 на 13: \(58 \div 13 = 4\) с остатком \(58 - 4 \times 13 = 58 - 52 = 6\). Значит, \(\frac{58}{13} = 4\frac{6}{13}\). Это число находится между 4 и 5.
2) \(\frac{69}{13}\)
Разделим 69 на 13: \(69 \div 13 = 5\) с остатком \(69 - 5 \times 13 = 69 - 65 = 4\). Значит, \(\frac{69}{13} = 5\frac{4}{13}\). Это число находится между 5 и 6.
3) \(\frac{76}{13}\)
Разделим 76 на 13: \(76 \div 13 = 5\) с остатком \(76 - 5 \times 13 = 76 - 65 = 11\). Значит, \(\frac{76}{13} = 5\frac{11}{13}\). Это число находится между 5 и 6.
4) \(\frac{83}{13}\)
Разделим 83 на 13: \(83 \div 13 = 6\) с остатком \(83 - 6 \times 13 = 83 - 78 = 5\). Значит, \(\frac{83}{13} = 6\frac{5}{13}\). Это число находится между 6 и 7.
На рисунке точка находится ближе к 6, чем к 5. Сравним \(\frac{69}{13} = 5\frac{4}{13}\) и \(\frac{76}{13} = 5\frac{11}{13}\).
Число \(5\frac{4}{13}\) находится на расстоянии \(\frac{4}{13}\) от 5. Число \(5\frac{11}{13}\) находится на расстоянии \(\frac{11}{13}\) от 5, что ближе к 6 (расстояние до 6 равно \(\frac{2}{13}\)).
На рисунке точка расположена ближе к 6. Значит, это число \(\frac{76}{13}\).
Ответ: 3