Решение самостоятельной работы: Формулы сокращенного умножения, 7 класс

Алгебра 7 класс. Самостоятельная работа. Формулы сокращенного умножения. А1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида \( (5a^2 + 2)^2 \). Для решения используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). \[ (5a^2 + 2)^2 = (5a^2)^2 + 2 \cdot 5a^2 \cdot 2 + 2^2 = 25a^4 + 20a^2 + 4 \] Правильный ответ: 3) \( 25a^4 + 20a^2 + 4 \). А2. Запишите в виде квадрата двучлена \( \frac{1}{49}a^2 - \frac{2}{7}a + 1 \). Для решения используем формулу квадрата разности: \( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \). Заметим, что: \( \frac{1}{49}a^2 = (\frac{1}{7}a)^2 \) \( 1 = 1^2 \) Удвоенное произведение: \( 2 \cdot \frac{1}{7}a \cdot 1 = \frac{2}{7}a \). Следовательно: \[ \frac{1}{49}a^2 - \frac{2}{7}a + 1 = (\frac{1}{7}a - 1)^2 \] Правильный ответ: 2) \( (\frac{1}{7}a - 1)^2 \). А3. Представьте выражение \( (\frac{3}{5}a - \frac{2}{7}b)(\frac{2}{7}b + \frac{3}{5}a) \) в виде многочлена стандартного вида. Для решения используем формулу разности квадратов: \( (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \). Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: \[ (\frac{3}{5}a - \frac{2}{7}b)(\frac{3}{5}a + \frac{2}{7}b) = (\frac{3}{5}a)^2 - (\frac{2}{7}b)^2 = \frac{9}{25}a^2 - \frac{4}{49}b^2 \] Правильный ответ: 1) \( \frac{9}{25}a^2 - \frac{4}{49}b^2 \). В1. Разложите на множители \( (3x + y)^2 - (x - 3y)^2 \). Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = (3x + y) \), а \( b = (x - 3y) \): \[ ((3x + y) - (x - 3y)) \cdot ((3x + y) + (x - 3y)) \] Раскроем внутренние скобки: \[ (3x + y - x + 3y) \cdot (3x + y + x - 3y) \] Приведем подобные слагаемые в каждой скобке: \[ (2x + 4y) \cdot (4x - 2y) \] Вынесем общие множители из каждой скобки (2 из первой и 2 из второй): \[ 2(x + 2y) \cdot 2(2x - y) = 4(x + 2y)(2x - y) \] Ответ: \( 4(x + 2y)(2x - y) \).