Решение неравенств по алгебре: примеры

Решение домашних заданий по алгебре. Задание 1. Решите неравенство: \[ 2x^2 - 50x \geqslant 0 \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ 2x(x - 25) \geqslant 0 \] Найдем корни уравнения \( 2x(x - 25) = 0 \): \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 25 \] Данное неравенство представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Она принимает значения больше или равные нулю на промежутках: \[ x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty) \] Ответ: \( (-\infty; 0] \cup [25; +\infty) \) Задание 2. Решите неравенство: \[ 3x \cdot (5x - 15) \cdot (8 - x) \cdot (55 - 5x) < 0 \] Для удобства упростим множители, вынеся числа: \[ 3x \cdot 5(x - 3) \cdot (-(x - 8)) \cdot 5(11 - x) < 0 \] \[ 75x(x - 3)(x - 8)(x - 11) < 0 \] (Заметим, что при вынесении минуса из скобки \( (8-x) \) и из скобки \( (55-5x) \), два минуса дали плюс). Найдем точки, в которых выражение равно нулю: \[ x = 0, \quad x = 3, \quad x = 8, \quad x = 11 \] Расставим знаки на числовой прямой методом интервалов. Так как перед всеми \( x \) стоят положительные коэффициенты, знаки будут чередоваться справа налево, начиная с плюса: \( + , - , + , - , + \). Нам нужны интервалы со знаком "минус": \[ x \in (0; 3) \cup (8; 11) \] Ответ: \( (0; 3) \cup (8; 11) \) Задание 3. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 14x + 48}{x + 7} \geqslant 0 \] Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 - 14x + 48 = 0 \) по теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 14, \quad x_1 \cdot x_2 = 48 \Rightarrow x_1 = 6, \quad x_2 = 8 \] Перепишем неравенство: \[ \frac{(x - 6)(x - 8)}{x + 7} \geqslant 0 \] Отметим критические точки на числовой прямой. Точки из числителя \( (6 \text{ и } 8) \) закрашенные, так как неравенство нестрогое. Точка из знаменателя \( (-7) \) всегда выколотая: \[ x \neq -7 \] Методом интервалов определяем знаки: На промежутке \( (8; +\infty) \) выражение положительно. Далее знаки чередуются: \( - \) на \( [6; 8] \), \( + \) на \( (-7; 6] \), \( - \) на \( (-\infty; -7) \). Нам нужны промежутки, где выражение \( \geqslant 0 \): \[ x \in (-7; 6] \cup [8; +\infty) \] Ответ: \( (-7; 6] \cup [8; +\infty) \)