Решение задач П.Р. Вариант 2

П.Р. Вариант 2. Задача 1. Пусть \(x\) — первое число, а \(y\) — второе число. По условию задачи составим систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 8 \\ x^2 + y^2 = 482 \end{cases} \] Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = y + 8 \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ (y + 8)^2 + y^2 = 482 \] \[ y^2 + 16y + 64 + y^2 = 482 \] \[ 2y^2 + 16y - 418 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ y^2 + 8y - 209 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900 = 30^2 \] Находим корни уравнения: \[ y_1 = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] \[ y_2 = \frac{-8 - 30}{2} = -19 \] Так как по условию числа натуральные, то \(y = 11\). Тогда \(x = 11 + 8 = 19\). Ответ: 19 и 11. Задача 2. Пусть \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника, \(c = 17\) см — его гипотенуза. Площадь треугольника \(S = 60\) см\(^2\). Формулы для прямоугольного треугольника: \[ \begin{cases} \frac{1}{2}ab = 60 \\ a^2 + b^2 = 17^2 \end{cases} \] Из первого уравнения: \(ab = 120\). Воспользуемся формулой квадрата суммы: \[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] Подставим известные значения: \[ (a + b)^2 = 17^2 + 2 \cdot 120 \] \[ (a + b)^2 = 289 + 240 = 529 \] \[ a + b = \sqrt{529} = 23 \] Периметр треугольника \(P = a + b + c\). \[ P = 23 + 17 = 40 \text{ см} \] Ответ: 40 см. Задача 3. Пусть \(x\) км — путь, который прошел второй турист (на восток), тогда \((x + 7)\) км — путь первого туриста (на юг). Так как направления на юг и на восток перпендикулярны, пути туристов образуют катеты прямоугольного треугольника, а расстояние между ними — гипотенузу. По теореме Пифагора: \[ (x + 7)^2 + x^2 = 73^2 \] \[ x^2 + 14x + 49 + x^2 = 5329 \] \[ 2x^2 + 14x - 5280 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 + 7x - 2640 = 0 \] \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2640) = 49 + 10560 = 10609 = 103^2 \] \[ x = \frac{-7 + 103}{2} = \frac{96}{2} = 48 \text{ км (путь второго)} \] Путь первого: \(48 + 7 = 55\) км. Время в пути \(t = 10\) часов. Найдем скорости: Скорость первого: \(v_1 = \frac{55}{10} = 5,5\) км/ч. Скорость второго: \(v_2 = \frac{48}{10} = 4,8\) км/ч. Ответ: 5,5 км/ч; 4,8 км/ч.