Решение задач по геометрии (Вариант №2)

Ниже представлено решение задач из варианта №2, оформленное для записи в тетрадь. Задача №1 Дано: \( \triangle ABC \), \( BK \) — биссектриса. \( AK = 8 \) см, \( KC = 10 \) см, \( BC = 25 \) см. Найти: \( AB \). Решение: По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{AB}{AK} = \frac{BC}{KC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{AB}{8} = \frac{25}{10} \] \[ \frac{AB}{8} = 2,5 \] \[ AB = 2,5 \cdot 8 = 20 \text{ (см)} \] Ответ: \( AB = 20 \) см. Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \), \( PT \parallel AC \). \( PT = 6 \) см, \( BT = 12 \) см, \( TC = 4 \) см. Найти: \( AC \). Решение: Так как \( PT \parallel AC \), то \( \triangle PBT \sim \triangle ABC \) по двум углам (угол \( B \) общий, \( \angle BPT = \angle BAC \) как соответственные). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{PT}{AC} = \frac{BT}{BC} \] Найдем сторону \( BC \): \[ BC = BT + TC = 12 + 4 = 16 \text{ (см)} \] Подставим значения в пропорцию: \[ \frac{6}{AC} = \frac{12}{16} \] \[ \frac{6}{AC} = \frac{3}{4} \] \[ AC = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8 \text{ (см)} \] Ответ: \( AC = 8 \) см. Задача №3 Дано: \( ABCD \) — трапеция, \( AD \parallel BC \). \( AD = 20 \) см, \( BC = 16 \) см, \( BD = 27 \) см. Найти: \( OD \) и \( BO \). Решение: Рассмотрим \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \). 1) \( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные. 2) \( \angle CBO = \angle ADO \) как накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \). Следовательно, \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по двум углам. Из подобия следует: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{OD} \] \[ \frac{16}{20} = \frac{BO}{OD} \Rightarrow \frac{BO}{OD} = \frac{4}{5} \] Пусть \( BO = 4x \), тогда \( OD = 5x \). Так как \( BO + OD = BD = 27 \), составим уравнение: \[ 4x + 5x = 27 \] \[ 9x = 27 \] \[ x = 3 \] Тогда: \[ BO = 4 \cdot 3 = 12 \text{ (см)} \] \[ OD = 5 \cdot 3 = 15 \text{ (см)} \] Ответ: \( BO = 12 \) см, \( OD = 15 \) см. Задача №4 Дано: \( CO = 5 \), \( CB = 7 \), \( OB = 4 \). \( AO = 12 \), \( OD = 15 \). Найти: \( AD \). Решение: Рассмотрим \( \triangle BOC \) и \( \triangle AOD \). Проверим отношение соответственных сторон, прилежащих к вертикальным углам \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \): \[ \frac{AO}{OB} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ \frac{OD}{OC} = \frac{15}{5} = 3 \] Так как \( \frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC} \) и \( \angle BOC = \angle AOD \) (вертикальные), то \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Из подобия следует: \[ \frac{AD}{CB} = \frac{AO}{OB} \] \[ \frac{AD}{7} = 3 \] \[ AD = 7 \cdot 3 = 21 \] Ответ: \( AD = 21 \).