Решение задачи: Площади треугольников MNE и NKE

Задача №2 Дано: \( \triangle MNK \) \( \angle N = 150^\circ \) \( MN = 4 \) см \( NK = 6 \) см \( NE \) — биссектриса \( \triangle MNK \) Найти: \( S_{MNE} \), \( S_{NKE} \) Решение: 1. Так как \( NE \) — биссектриса угла \( \angle MNK \), то она делит этот угол пополам: \[ \angle MNE = \angle KNE = \frac{\angle N}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \] 2. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{ME}{EK} = \frac{MN}{NK} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 3. Площади треугольников \( MNE \) и \( NKE \), имеющих общую высоту, проведенную из вершины \( N \) к прямой \( MK \), относятся как длины их оснований: \[ \frac{S_{MNE}}{S_{NKE}} = \frac{ME}{EK} = \frac{2}{3} \] Отсюда следует, что \( S_{MNE} = \frac{2}{5} S_{MNK} \), а \( S_{NKE} = \frac{3}{5} S_{MNK} \). 4. Найдем площадь всего треугольника \( MNK \) по формуле через две стороны и угол между ними: \[ S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NK \cdot \sin(\angle N) \] \[ S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(150^\circ) \] Так как \( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), получаем: \[ S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}^2 \] 5. Вычислим площади искомых треугольников: \[ S_{MNE} = \frac{2}{5} \cdot 6 = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ см}^2 \] \[ S_{NKE} = \frac{3}{5} \cdot 6 = \frac{18}{5} = 3,6 \text{ см}^2 \] Ответ: \( S_{MNE} = 2,4 \text{ см}^2 \), \( S_{NKE} = 3,6 \text{ см}^2 \).