Решение задачи: Билет №8 - Колебания груза на наклонной плоскости

Билет № 8 Задача 1 Условие: На гладкой наклонной плоскости (угол \(\alpha\)) находится груз веса \(P\), прикрепленный к пружине. Статическое удлинение пружины равно \(\lambda\). Начальное растяжение \(3\lambda\), начальная скорость равна нулю. Определить закон колебаний груза. Решение: 1. Найдем коэффициент жесткости пружины \(c\). В состоянии статического равновесия сила упругости уравновешивает проекцию силы тяжести на ось, направленную вдоль плоскости: \[ c \cdot \lambda = P \sin \alpha \] Отсюда: \[ c = \frac{P \sin \alpha}{\lambda} \] 2. Составим дифференциальное уравнение движения груза. Пусть \(x\) — отклонение груза от положения статического равновесия. Тогда уравнение имеет вид: \[ m \ddot{x} + cx = 0 \] где \(m = \frac{P}{g}\) — масса груза. \[ \frac{P}{g} \ddot{x} + \frac{P \sin \alpha}{\lambda} x = 0 \] Разделим на \( \frac{P}{g} \): \[ \ddot{x} + \frac{g \sin \alpha}{\lambda} x = 0 \] 3. Определим циклическую частоту колебаний \(k\): \[ k^2 = \frac{g \sin \alpha}{\lambda} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{g \sin \alpha}{\lambda}} \] Общее решение уравнения: \[ x(t) = C_1 \cos(kt) + C_2 \sin(kt) \] 4. Найдем константы из начальных условий. По условию, в начальный момент пружина растянута на \(3\lambda\) от ненапряженного состояния. Так как координата \(x\) отсчитывается от положения равновесия (которое уже смещено на \(\lambda\)), то начальное отклонение: \[ x(0) = 3\lambda - \lambda = 2\lambda \] Начальная скорость \(v(0) = \dot{x}(0) = 0\). Подставляя в общее решение: \[ x(0) = C_1 = 2\lambda \] \[ \dot{x}(0) = k C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \] 5. Итоговый закон колебаний: \[ x(t) = 2\lambda \cos\left( \sqrt{\frac{g \sin \alpha}{\lambda}} \cdot t \right) \] Ответ: \(x = 2\lambda \cos\left( \sqrt{\frac{g \sin \alpha}{\lambda}} \cdot t \right)\). Задача 2 Условие: Груз \(A\) массы \(M_1\) опускается вниз, приводя в движение груз \(B\) массы \(M_2\). Масса стола \(M_3\). Определить силу давления стола \(N\) на пол. Решение: 1. Найдем ускорение системы \(a\). Для грузов \(A\) и \(B\), связанных нерастяжимой нитью: \[ M_1 g - T = M_1 a \] \[ T = M_2 a \] Складывая уравнения: \[ M_1 g = (M_1 + M_2) a \Rightarrow a = \frac{M_1}{M_1 + M_2} g \] 2. Сила давления стола на пол \(N\) по третьему закону Ньютона равна силе реакции пола. Рассмотрим силы, действующие на систему "стол + грузы" по вертикали. На пол давят: вес стола \(M_3 g\), вес груза \(B\) (так как он движется горизонтально, его давление на стол равно \(M_2 g\)) и сила, с которой нить через блок \(C\) давит на стол. Проще рассмотреть уравнение движения центра масс системы или воспользоваться методом кинетостатики. Вертикальные силы: - Сила тяжести стола: \(M_3 g\) - Сила тяжести груза \(B\): \(M_2 g\) - Сила тяжести груза \(A\): \(M_1 g\) - Сила инерции груза \(A\): \(F_{in} = M_1 a\) (направлена вверх, так как груз ускоряется вниз). 3. Уравнение равновесия в проекции на вертикаль (с учетом сил инерции): \[ N - M_3 g - M_2 g - M_1 g + M_1 a = 0 \] \[ N = (M_1 + M_2 + M_3)g - M_1 a \] 4. Подставим значение ускорения \(a\): \[ N = (M_1 + M_2 + M_3)g - M_1 \left( \frac{M_1}{M_1 + M_2} g \right) \] Вынесем \(g\) за скобки: \[ N = \left( M_1 + M_2 + M_3 - \frac{M_1^2}{M_1 + M_2} \right) g \] Ответ: \(N = \left( M_1 + M_2 + M_3 - \frac{M_1^2}{M_1 + M_2} \right) g\).