Решение уравнения x^2 - 109x + 108: находим m^2 + n^2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета и формулой сокращенного умножения. Дано уравнение: \(x^2 - 109x + 108 = 0\). Корни уравнения — \(m\) и \(n\). 1. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: Сумма корней: \(m + n = -p = 109\) Произведение корней: \(m \cdot n = q = 108\) 2. Нам нужно найти значение выражения \(m^2 + n^2\). Используем формулу квадрата суммы: \[(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2\] Отсюда выразим сумму квадратов: \[m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn\] 3. Подставим известные значения суммы и произведения корней в полученную формулу: \[m^2 + n^2 = 109^2 - 2 \cdot 108\] 4. Выполним вычисления: \[109^2 = 11881\] \[2 \cdot 108 = 216\] \[m^2 + n^2 = 11881 - 216 = 11665\] Ответ: 11665