Найти параметр a для минимальной суммы квадратов корней

Задание: Найдите значение параметра \( a \), при котором сумма квадратов корней уравнения \( x^2 - (a + 1)x + a - 1 = 0 \) является наименьшей. Решение: 1. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни данного уравнения. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: \[ x_1 + x_2 = a + 1 \] \[ x_1 \cdot x_2 = a - 1 \] 2. Выразим сумму квадратов корней \( x_1^2 + x_2^2 \) через их сумму и произведение: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] 3. Подставим выражения с параметром \( a \) в эту формулу: \[ S(a) = (a + 1)^2 - 2(a - 1) \] 4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ S(a) = a^2 + 2a + 1 - 2a + 2 \] \[ S(a) = a^2 + 3 \] 5. Нам нужно найти значение \( a \), при котором функция \( S(a) = a^2 + 3 \) принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Так как в выражении \( a^2 + 3 \) отсутствует член с первой степенью \( a \) (то есть коэффициент перед \( a \) равен \( 0 \)), вершина находится в точке: \[ a = 0 \] 6. Проверим условие существования корней (дискриминант должен быть не меньше нуля): \[ D = (a + 1)^2 - 4(a - 1) = a^2 + 2a + 1 - 4a + 4 = a^2 - 2a + 5 \] Заметим, что для \( a^2 - 2a + 5 \) дискриминант уже этого выражения \( D_a = (-2)^2 - 4 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \), что меньше нуля. Это значит, что выражение \( a^2 - 2a + 5 \) всегда положительно при любых \( a \). Следовательно, корни исходного уравнения существуют при любом значении \( a \). Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов корней достигается при \( a = 0 \). Ответ: \( 0 \)