Решение задач из экзаменационного билета по математике

Ниже представлено решение задач из экзаменационного билета по математике. Задача 1. Дан ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3n^2 + 2}\). Указать третий член данного ряда. Решение: Общий член ряда имеет вид \(a_n = \frac{n}{3n^2 + 2}\). Чтобы найти третий член, подставим \(n = 3\): \[a_3 = \frac{3}{3 \cdot 3^2 + 2} = \frac{3}{3 \cdot 9 + 2} = \frac{3}{27 + 2} = \frac{3}{29}\] Ответ: \(\frac{3}{29}\). Задача 2. Исследовать на сходимость числовой ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}\). Решение: Применим радикальный признак Коши. Найдем предел: \[L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\] Используя второй замечательный предел \(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e\), получаем: \[L = \frac{1}{2} \cdot e = \frac{e}{2}\] Так как \(e \approx 2,718\), то \(L = \frac{2,718}{2} \approx 1,359 > 1\). Ответ: Ряд расходится. Задача 3. Исследовать на сходимость ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{n^2}\). Решение: Применим признак Даламбера. Найдем \(a_n\) и \(a_{n+1}\): \(a_n = \frac{2^{n+1}}{n^2}\), \(a_{n+1} = \frac{2^{n+2}}{(n+1)^2}\). \[L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+2}}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot n^2}{(n+1)^2} = 2 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 = 2 \cdot 1 = 2\] Так как \(L = 2 > 1\), ряд расходится. Ответ: Ряд расходится. Задача 6. Среди 25 билетов 5 счастливых. Студенты подходят по очереди. У кого больше вероятность вытащить счастливый билет: у первого или у второго? Решение: 1) Вероятность для первого студента: \(P_1 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2\). 2) Вероятность для второго студента (событие "второй вытянул" зависит от того, что сделал первый): Второй вытянет счастливый билет в двух случаях: если первый вытянул счастливый и если первый вытянул несчастливый. \[P_2 = \frac{5}{25} \cdot \frac{4}{24} + \frac{20}{25} \cdot \frac{5}{24} = \frac{20}{600} + \frac{100}{600} = \frac{120}{600} = \frac{1}{5} = 0,2\] Ответ: Вероятности равны. Задача 7. Найти вероятность того, что при бросании двух костей выпало две пятерки, если сумма очков кратна пяти. Решение: Сумма очков кратна 5, если она равна 5 или 10. Благоприятные исходы для суммы (всего их \(N\)): Сумма 5: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) — 4 исхода. Сумма 10: (4,6), (6,4), (5,5) — 3 исхода. Итого \(N = 4 + 3 = 7\) равновероятных исходов. Событие "выпало две пятерки" — это только один исход (5,5). \[P = \frac{1}{7}\] Ответ: \(\frac{1}{7}\). Задача 8. Найти \(M(X)\) по таблице распределения. Решение: Математическое ожидание дискретной величины: \(M(X) = \sum x_i p_i\). \[M(X) = (-4) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,2 + 6 \cdot 0,25 + 8 \cdot 0,15\] \[M(X) = -0,4 + 0 + 0,8 + 1,5 + 1,2 = 3,1\] Ответ: 3,1. Задача 9. Найти вероятность \(P(\frac{\pi}{6} < X < \frac{\pi}{4})\) для функции распределения \(F(x) = \sin 2x\) на интервале \((0; \frac{\pi}{4}]\). Решение: Вероятность попадания в интервал: \(P(a < X < b) = F(b) - F(a)\). \[P\left(\frac{\pi}{6} < X < \frac{\pi}{4}\right) = F\left(\frac{\pi}{4}\right) - F\left(\frac{\pi}{6}\right)\] \[F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1\] \[F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[P = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\] Ответ: \(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\).