Решение задачи №4 по сопромату: определение напряжений

Задача №4 Дано: \( F = 80 \text{ кН} = 80 \cdot 10^3 \text{ Н} \) \( [\sigma] = 200 \text{ МПа} = 200 \cdot 10^6 \text{ Па} \) \( S_1 = S_2 = S_7 = S_8 = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \) \( S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = \frac{S_1}{4} = 0,5 \text{ см}^2 = 0,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \) \( l_1 = l_2 = l_7 = l_8 = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \) \( l_3 = l_4 = l_5 = l_6 = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м} \) Найти: НДС (напряженно-деформированное состояние), \( \sigma_{max} \). Решение: 1. Определение продольных сил на участках. Система представляет собой последовательно-параллельное соединение стержней. Общая сила \( F \) приложена к левому краю (две половины \( F/2 \) суммируются в \( F \)). Так как система закреплена только с одной стороны (справа), то во всех сечениях по длине конструкции будет действовать одна и та же суммарная продольная сила \( N = F \). На первом участке (стержни 1 и 2) сила распределяется поровну: \[ N_1 = N_2 = \frac{F}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ кН} \] На втором участке (стержни 3, 4, 5 и 6) сила распределяется на 4 стержня: \[ N_3 = N_4 = N_5 = N_6 = \frac{F}{4} = \frac{80}{4} = 20 \text{ кН} \] На третьем участке (стержни 7 и 8) сила распределяется на 2 стержня: \[ N_7 = N_8 = \frac{F}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ кН} \] 2. Определение нормальных напряжений \( \sigma \). Напряжение вычисляется по формуле \( \sigma = \frac{N}{S} \). Для стержней 1, 2, 7, 8: \[ \sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_7 = \sigma_8 = \frac{40 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-4}} = 20 \cdot 10^7 \text{ Па} = 200 \text{ МПа} \] Для стержней 3, 4, 5, 6: \[ \sigma_3 = \sigma_4 = \sigma_5 = \sigma_6 = \frac{20 \cdot 10^3}{0,5 \cdot 10^{-4}} = 40 \cdot 10^7 \text{ Па} = 400 \text{ МПа} \] 3. Определение максимального напряжения. Сравнивая полученные значения: \[ \sigma_{max} = 400 \text{ МПа} \] 4. Проверка условия прочности. Условие прочности: \( \sigma_{max} \le [\sigma] \). В нашем случае \( 400 \text{ МПа} > 200 \text{ МПа} \). Условие прочности не выполняется, конструкция перегружена в средней части. 5. Определение деформаций (удлинений) участков \( \Delta l \). Используем закон Гука: \( \Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot S} \). Примем модуль упругости для стали \( E = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \). Участок I (стержни 1, 2): \[ \Delta l_I = \frac{40 \cdot 10^3 \cdot 0,2}{2 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 10^{-4}} = 0,0002 \text{ м} = 0,2 \text{ мм} \] Участок II (стержни 3-6): \[ \Delta l_{II} = \frac{20 \cdot 10^3 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 0,5 \cdot 10^{-4}} = 0,0008 \text{ м} = 0,8 \text{ мм} \] Участок III (стержни 7, 8): \[ \Delta l_{III} = \frac{40 \cdot 10^3 \cdot 0,2}{2 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 10^{-4}} = 0,0002 \text{ м} = 0,2 \text{ мм} \] Общее удлинение системы: \[ \Delta L = \Delta l_I + \Delta l_{II} + \Delta l_{III} = 0,2 + 0,8 + 0,2 = 1,2 \text{ мм} \] Ответ: \( \sigma_{max} = 400 \text{ МПа} \); условие прочности не соблюдено; общее удлинение \( 1,2 \text{ мм} \).