Решение системы уравнений №565

Задание №565. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x + y = 2 \\ x^2 - y^2 = -12 \end{cases} \] Решение: 1. Выразим переменную \(y\) из первого уравнения системы: \[ y = 2 - 3x \] 2. Подставим полученное выражение вместо \(y\) во второе уравнение: \[ x^2 - (2 - 3x)^2 = -12 \] 3. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ x^2 - (4 - 12x + 9x^2) = -12 \] \[ x^2 - 4 + 12x - 9x^2 = -12 \] 4. Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в одну сторону: \[ -8x^2 + 12x - 4 + 12 = 0 \] \[ -8x^2 + 12x + 8 = 0 \] 5. Разделим обе части уравнения на \(-4\), чтобы упростить коэффициенты: \[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 \] 6. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \] 7. Найдем соответствующие значения \(y\), подставив \(x_1\) и \(x_2\) в выражение \(y = 2 - 3x\): При \(x_1 = 2\): \[ y_1 = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4 \] При \(x_2 = -0,5\): \[ y_2 = 2 - 3 \cdot (-0,5) = 2 + 1,5 = 3,5 \] Ответ: \((2; -4)\); \((-0,5; 3,5)\).