Решение задачи: Прямоугольник с перпендикуляром

Дано: ABCD — прямоугольник \(MB \perp (ABC)\) \(CD = 3\) см \(AD = 4\) см \(MB = 5\) см Доказать: \(\triangle AMC\) и \(\triangle MCD\) — прямоугольные. Найти: \(\angle MDB\) Решение: 1. Докажем, что \(\triangle MCD\) прямоугольный. Так как \(MB \perp (ABC)\), то \(MB\) — перпендикуляр к плоскости основания, а \(BC\) — проекция наклонной \(MC\) на плоскость \((ABC)\). В прямоугольнике \(ABCD\) сторона \(CD \perp BC\). По теореме о трех перпендикулярах: если проекция \(BC\) перпендикулярна прямой \(CD\), лежащей в плоскости, то и наклонная \(MC\) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, \(MC \perp CD\), значит \(\triangle MCD\) — прямоугольный с прямым углом \(C\). 2. Докажем, что \(\triangle AMC\) прямоугольный. В прямоугольнике \(ABCD\) стороны \(AB = CD = 3\) см и \(BC = AD = 4\) см. Из прямоугольного \(\triangle MBC\) (\(\angle B = 90^\circ\)) по теореме Пифагора: \[MC^2 = MB^2 + BC^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\] Из прямоугольного \(\triangle MBA\) (\(\angle B = 90^\circ\)) по теореме Пифагора: \[MA^2 = MB^2 + AB^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\] Из прямоугольного \(\triangle ABC\) по теореме Пифагора найдем диагональ \(AC\): \[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] Проверим выполнение теоремы Пифагора для \(\triangle AMC\): \[MA^2 + AC^2 = 34 + 25 = 59\] \[MC^2 = 41\] Так как \(MA^2 + AC^2 \neq MC^2\), треугольник \(\triangle AMC\) не является прямоугольным в классическом понимании данной задачи. Вероятно, в условии опечатка и требовалось доказать прямоугольность \(\triangle MAD\). Проверим \(\triangle MAD\): \(AD \perp AB\), \(AB\) — проекция \(MA\), значит \(MA \perp AD\) по ТТП. Тогда \(\triangle MAD\) прямоугольный. 3. Найдем \(\angle MDB\). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle MBD\) (\(\angle B = 90^\circ\), так как \(MB\) перпендикуляр к плоскости). Сначала найдем диагональ основания \(BD\). В прямоугольнике диагонали равны: \[BD = AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ см}\] В \(\triangle MBD\) катеты \(MB = 5\) см и \(BD = 5\) см. Так как катеты равны, треугольник равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, острые углы равны \(45^\circ\). \[\angle MDB = 45^\circ\] Ответ: \(\angle MDB = 45^\circ\).